Русская Википедия:Биортогонализация Ланцоша

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Биортогонализация Ланцоша — в линейной алгебре процесс построения пары биортогональных базисов для двух подпространств Крылова

<math>\mathcal{K}_m (v_1,A) = span \{ v_1, Av_1, A^2 v_1, ..., A^{m-1} v_1 \} </math>

и

<math>\mathcal{K}_m (w_1,A^T) = span \{ w_1, A^Tw_1, (A^T)^2 w_1, ..., (A^T)^{m-1} w_1 \} .</math>

Метод был предложен венгерским физиком и математиком Корнелием Ланцошем и является расширением процедуры ортогонализации Ланцоша на случай, когда матрица <math>A</math> несимметрична.

Теоретическое обоснование метода

Определение. Системы векторов <math> \{ x_i \} _ {i=1}^m</math> и <math> \{ y_i \} _ {i=1}^m</math> называются биортогональными, если <math>\forall i\ne j \; (x_i,y_j)=0. </math>

Замечание. Основным недостатком биортогонализации Ланцоша является возможность возникновения ситуации, когда <math>(v_i,w_i)=0;</math> при этом продолжение процесса становится невозможным из-за неопределённости коэффициента <math>\beta_{i+1}.</math>

Алгоритм биортогонализации Ланцоша

1. Выбираем два вектора <math>v_1, \ w_1</math>, так чтобы <math>(v_1,w_1) = 1.</math>
2. Полагаем <math>\beta_1=\delta_1 \equiv 0, \ w_0=v_0 \equiv 0</math>
3. Для <math>j=1,2,...,m </math> делать:
4. <math>\alpha_j=(Av_j,w_j)</math>
5. <math>\hat{v}_{j+1}=Av_j - \alpha_j v_j - \beta_j v_{j-1}</math>
6. <math>\hat{w}_{j+1}=A^T w_j - \alpha_j w_j - \delta_j w_{j-1}</math>
7. <math>\delta_{j+1}= \mathcal {j} (\hat{v}_{j+1},\hat{w}_{j+1}) \mathcal {j} ^{1/2}</math>. Если <math>\delta_{j+1}=0,</math> то СТОП
8. <math>\beta_{j+1}=(\hat{v}_{j+1},\hat{w}_{j+1}) / \delta_{j+1}</math>
9. <math>v_{j+1}=\hat{v}_{j+1} / \delta_{j+1}</math>
10. <math>w_{j+1}=\hat{w}_{j+1} / \beta_{j+1}</math>
11. Конец цикла по <math>j</math>.

Ссылки

• Методы решения СЛАУ большой размерности: Учебное пособие