Русская Википедия:Биссектриса

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Triangle ABC with bisector AD.jpg
Биссектриса AD делит пополам угол A

Биссектри́са (от Шаблон:Lang-la «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла. Можно также определить биссектрису как геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон этого угла[1].

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла, проведенный от вершины угла до её пересечения с противолежащей стороной. У треугольника существуют три биссектрисы, соответствующие трём его вершинам.

Связанные определения

  • Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с его стороной, не являющейся стороной этого угла, называется основанием биссектрисы.
Файл:Incircle and Excircles.svg
Центры трех вневписанных окружностей (соответственно <math>J_A, J_B, J_C</math>) образуют — треугольник трёх внешних биссектрис
  • В любом треугольнике <math>ABC</math>, кроме внутренних биссектрис (далее называемых просто биссектрисами), можно провести и внешние биссектрисы, то есть биссектрисы углов, смежных с внутренними углами треугольника. При этом внутренняя и внешняя биссектриса одного и того же угла перпендикулярны.
  • Проведение в данном треугольнике всех трёх его внешних биссектрис до их точек пересечения друг с другом в центрах вневписанных окружностей (соответственно <math>J_A, J_B, J_C</math>) образует новый треугольник (см. рис.) — треугольник трёх внешних биссектрис. Это — новый треугольник центров вневписанных окружностей с вершинами <math>J_A, J_B, J_C</math>, которые касаются соответственно сторон <math>a, b, c</math> исходного треугольника.
  • Центр окружности, проходящей через центры вневписанных окружностей — точка Бевэна.
  • Исходный треугольник является ортотреугольником для треугольника <math>\Delta J_AJ_BJ_C</math>
  • Точка пересечения симедиан треугольника, образованного центрами его вневписанных окружностей <math>J_A, J_B, J_C</math> , является центром эллипса Мандарта. Эту точку называют по-английски middlespoint, по-немецки — «Mittelpunkt». Она открыта в 1836-ом году Христианом Генрихом фон Нагелем (Christian Heinrich von Nagel).[2][3]

Свойства

Файл:Bisection construction.gif
Построение биссектрисы

Свойства точек пересечения биссектрис

  • Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности (инцентре).
  • Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
  • Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
  • Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности (он же — инцентр или точка пресечения внутренних биссектрис треугольника). Её центр лежит в точке Фейербаха. Подерные и чевианные окружности точек на гиперболе Фейербаха проходят через точку Фейербаха.

Свойства, связанные с углами

  • Каждая внутренняя (внешняя) биссектриса угла треугольника, выходящая из его вершины, делит этот внутренний (внешний) угол треугольника пополам (на две равные половинки).
  • Угол между биссектрисами двух смежных углов (между внутренними и внешними биссектрисами углов треугольника при одной вершине) равен 90 градусам.
  • Внутренняя биссектриса угла треугольника изогонально сопряжена самой себе.

Свойства, связанные с дугами

Свойства биссектрис равнобедренного треугольника

  • Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой того угла, из которого она выходит.
  • Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две биссектрисы равны, и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой.
  • В равнобедренном треугольнике внутренняя биссектриса угла, противоположного основанию треугольника, является медианой и высотой.
  • Одна и только одна биссектриса внешнего угла неравностороннего треугольника может быть параллельна противоположной внутреннему углу стороне — основанию, если треугольник равнобедренный.
  • У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам.
  • У равностороннего треугольника все три внутренние биссектрисы равны.

Свойства оснований биссектрис

Файл:Triangle ABC with bisector AD.svg
<math>\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}</math> или <math>\frac{BD}{AB} = \frac{CD}{AC}</math>.
  • Теорема о биссектрисе (см. рис.): Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону (то есть делит своим основанием противоположную сторону) в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон. То есть <math>\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}</math> или <math>\frac{BD}{AB} = \frac{CD}{AC}</math>. Теорема о биссектрисе  — частный случай теоремы Штейнера.
  • Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника (Одна и только одна биссектриса внешнего угла треугольника может быть параллельна противоположной стороне — основанию, если треугольник равнобедренный. У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам. Других возможностей нет).
  • Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону изотомически по отношению к антибиссектрисе того же угла.
  • Окружности, построенные, как на диаметре, на отрезке, соединяющем основания внутренней и внешней биссектрисы, выпущенных из одного угла, проходят через точки Аполлония.
  • Через точку Фейербаха проходит окружность, проведённая через основания трёх биссектрис.
  • В общем случае не пересекаются в одной точке 3 перпендикуляра к сторонам треугольника, проведённые через основания 3 внутренних его биссектрис, которые лежат на этих сторонах.[4]

Свойства осей биссектрис

Свойство проекции одной вершины на биссектрисы двух других вершин

  • Если из двух вершин треугольника провести сразу две пары биссектрис (две внутренние и две внешние), а затем на четыре полученные биссектрисы ортогонально спроектировать третью вершину, тогда полученные четыре точки проекций вершины на биссектрисы будут лежать на одной прямой (коллинеарны)[5]. Эта прямая является средней линией треугольника, параллельной той стороне, концами которой являются упомянутые выше две вершины.

Другие свойства

Тройки отрезков, параллельных трем биссектрисам треугольника

Тройки отрезков, параллельных трем бессектрисам и одновременно пересекающихся в одной точке

  • Каждый кливер есть отрезок, один конец которого находится в середине стороны треугольника и который параллелен биссектрисе угла, противоположного этой стороне. Три кливера, подобных описанному выше, пересекаются в центре Шпикера.
  • Если проведен отрезок с одним концом в точке касания вписанной окружности треугольника с его стороной в направлении параллельно биссектрисе угла, противоположного этой стороне, а затем для двух других сторон построены аналогичные отрезки, то эти три отрезка пересекаются в одной точке[9].

Тройки отрезков, параллельных трем биссектрисам и одновременно образующих 2 треугольника

  • Во вся­кий треугольник ABC мож­но впи­сать 2 треугольника, 3 сто­ро­ны ко­то­рых па­рал­лель­ны 3 биссектрисам треугольника ABC. Эти треугольники име­ют об­щую окруж­ность типа окружности Эйле­ра, то есть 6 их вершин лежат на 1 окруж­ности.[10]

Длина биссектрис в треугольнике

Удобно биссектрисы треугольника обозначать следующим образом. Если <math>ABC</math> ― треугольник, и <math>a = BC</math>, <math>b = AC</math>, <math>c = AB</math> ― стороны (длины сторон), то <math>l_a</math>, <math>l_b</math>, <math>l_c</math> ― биссектрисы, проведённые соответственно из вершин <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> к сторонам <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>.

Файл:Triangle+bisection.svg
Биссектриса Треугольника ABC

Для выведения нижеприведённых формул можно воспользоваться теоремой Стюарта.

<math>l_c = {\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\over{a+b}}=\dfrac{2 \sqrt{abp(p-c)}}{a+b}</math>, где <math>p</math> — полупериметр.
<math>l_c = \sqrt{ab-a_lb_l}</math> (формула ЛагранжаШаблон:Нет АИ)
<math>l_c = \frac {2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}</math>
<math>l_c = \dfrac {2a_lb_l\cos\dfrac{\gamma}{2}}\sqrt{a_l^2+b_l^2-2a_lb_l\cos{(\gamma})}</math>
<math>l_c = \frac {h_c}{\cos \frac {\alpha-\beta}{2}}</math>

Для трёх биссектрис углов <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math> с длинами соответственно <math>l_a, l_b,</math> и <math>l_c</math>, справедлива формула[11]

<math>\dfrac{(b+c)^2}{bc}l_a^2+ \dfrac{(c+a)^2}{ca}l_b^2+\dfrac{(a+b)^2}{ab}l_c^2 = (a+b+c)^2</math>,
<math>w_c^2=a_w \cdot b_w-ab=CE^2=BE \cdot AE-ab</math>,
  • Инцентр (точка пересечения трёх внутренних биссектрис треугольника) делит внутреннюю биссектрису угла <math>A</math> в отношении <math>\frac{b+c}{a}</math>,

где:

  • <math>a, b, c</math> — стороны треугольника против вершин <math>A, B, C</math> соответственно,
  • <math>\alpha, \beta, \gamma</math> — внутренние углы треугольника при вершинах <math>A, B, C</math> соответственно,
  • <math>h_c</math> — высота треугольника, опущенная на сторону <math>c</math>.
  • <math>l_c</math> — длина внутренней биссектрисы, проведённой к стороне <math>c</math>,
  • <math>a_l, b_l</math> — длины отрезков, на которые внутренняя биссектриса <math>l_c</math> делит сторону <math>c</math>,
  • <math>w_c</math> — длина внешней биссектрисы, проведённой из вершины <math>C</math> к продолжению стороны <math>AB</math>.
  • <math>a_w, b_w</math> — длины отрезков, на которые внешняя биссектриса <math>w_c</math> делит сторону <math>c=AB</math> и её продолжение до основания самой биссектрисы.
  • Если медиана <math>m</math>, высота <math>h</math> и внутренняя биссектриса <math>t</math> выходят из одной и той же вершины треугольника, около которого описана окружность радиуса <math>R</math>, тогда[12]Шаблон:Rp
<math>4R^2h^2(t^2-h^2)=t^4(m^2-h^2).</math>

Длина частей биссектрис в треугольнике

  • Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно <math>l_{c0}=\frac{r}{\sin(\frac{\gamma}{2})}= \sqrt{(p-c)^2 + r^2}= \sqrt{ab - 4Rr}</math>, где R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей, а γ — угол вершины C.
  • Формулы последнего пункта по сути дают длину части биссектрисы от вершины до точки их пересечения (до центра вписанной окружности или до инцентра).
  • Эту формулу и формулу для второй части внутренней биссектрисы можно также найти на основе следующего факта:
  • Инцентр делит внутреннюю биссектрису угла <math>A</math> в отношении <math>\frac{b+c}{a}</math>, где <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> — стороны треугольника.

Уравнения биссектрис

  • Если две смежные стороны треугольника записаны уравнениями <math>y_1=a_1x+b_1</math> и <math>y_2=a_2x+b_2</math>, то в явном виде биссектрисы представимы в виде функций[13]:
<math>y=\frac{a_1\sqrt{a_2^2+1}\pm a_2\sqrt{a_1^2+1}}{\sqrt{a_2^2+1}\pm \sqrt{a_1^2+1}}\, x + \frac{b_1\sqrt{a_2^2+1}\pm b_2\sqrt{a_1^2+1}}{\sqrt{a_2^2+1}\pm \sqrt{a_1^2+1}}</math>

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Треугольник

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Книга:Математическая энциклопедия
  2. ↑ Шаблон:Citation.
  3. ↑ Шаблон:Citation.
  4. ↑ Книга:Акопян-Заславский
  5. ↑ Дмитрий Ефремов. Новая геометрия треугольника Шаблон:Wayback. — Одесса, 1902. — С. 6. Глава I, п.8
  6. ↑ Кто и когда доказал невозможность построения треугольника по трем биссектрисам? Шаблон:Wayback. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
  7. ↑ Можно ли построить треугольник по трем биссектрисам, если кроме циркуля и линейки разрешается использовать трисектор Шаблон:Wayback. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
  8. ↑ Стариков В. Н. Исследования по геометрии// Сборник публикаций научного журнала Globus по материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки» г. Санкт-Петербург: сборник со статьями (уровень стандарта, академический уровень). С-П.: Научный журнал Globus, 2016. С. 99-100
  9. ↑ Решения заданий первого этапа Всесибирской открытой олимпиады школьников 2015—2016 г. по математике. Задача 10.3, С. 5-6// https://sesc.nsu.ru/upload/iblock/1ad/2015_1_math_s.pdf Шаблон:Wayback
  10. ↑ Дмитрий Ефремов. Новая геометрия треугольника Шаблон:Wayback. — Одесса, 1902. — С. 26. Глава I. Упражнения. п.33
  11. ↑ Simons, Stuart. Mathematical Gazette 93, March 2009, 115—116.
  12. ↑ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publ., 2007.
  13. ↑ Шаблон:Cite web
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Биссектриса&oldid=9189402