Русская Википедия:Биэллиптическая переходная орбита
Биэллиптическая переходная орбита — в космонавтике и аэрокосмической технике орбита манёвра, при котором космический аппарат переходит с одной орбиты на другую. В некоторых случаях биэллиптический переход требует меньшей характеристической скорости дельта-v, чем перелёт по гомановскому эллипсу.
Биэллиптическая орбита состоит из двух половин эллиптических орбит. Сначала космическому аппарату, находящемуся на начальной орбите, придаётся определённая дельта-v для перехода на первую часть биэллиптической орбиты с апоцентром в некоторой точке на расстоянии <math>r_b</math> от центрального тела. В этой точке аппарату также придаётся некоторая дельта-v для перехода на второй участок биэллиптической орбиты с перицентром на расстоянии, равном радиусу итоговой желаемой орбиты. В точке перицентра в третий раз аппарату придаётся некоторая дельта-v, в результате аппарат переходит на требуемую орбиту[1].
Биэллиптические перелёты обычно требуют больше топлива и времени, чем гомановские, но некоторые биэллиптические траектории требуют меньшей суммарной дельта-v, чем гомановская траектория, в случае отношения больших полуосей конечной и начальной траектории, превышающего 11,94, в зависимости от большой полуоси промежуточной орбиты[2].
Идея биэллиптической переходной орбиты была впервые представлена в статье Ари Штернфельда в 1934 году[3].
Вычисления
Дельта-v
Три значения изменения скорости можно получить непосредственно из интеграла энергий,
- <math>v^2 = \mu \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right),</math>
где
- <math>v</math> — скорость аппарата на орбите,
- <math>\mu = GM</math> — гравитационный параметр притягивающего тела,
- <math>r</math> — расстояние от притягивающего центра до тела на орбите,
- <math>a</math> — большая полуось орбиты тела.
В рассматриваемой задаче
- <math>r_1</math> — радиус начальной круговой орбиты,
- <math>r_2</math> — радиус конечной круговой орбиты,
- <math>r_b</math> — радиус общего апоцентра двух эллиптических участков переходной орбиты, свободный параметр манёвра,
- <math>a_1</math> и <math>a_2</math> равны большим полуосям эллиптических участков переходной орбиты, задаются равенствами
- <math>a_1 = \frac{r_1 + r_b}{2},</math>
- <math>a_2 = \frac{r_2 + r_b}{2}.</math>
При старте с начальной круговой орбиты радиуса <math>r_1</math> (тёмно-синяя окружность на рисунке), добавление скорости по направлению движения (вектор в положении 1 на рисунке) переводит космический аппарат на первый эллиптический участок орбиты перехода (бирюзовая линия). Величина необходимой дельта-v равна
- <math>\Delta v_1 = \sqrt{ \frac{2 \mu}{r_1} - \frac{\mu}{a_1}} - \sqrt{\frac{\mu}{r_1}}.</math>
Когда апоцентр первого эллиптического участка достигается на расстоянии <math>r_b</math>, аппарату второй раз придаётся дополнительная скорость по направлению движения (вектор в положении 2 на рисунке), в результате на новой эллиптической орбите (оранжевая кривая) перицентр находится в точке касания итоговой круговой орбиты. Величина требуемой для перехода на эту часть переходной орбиты равна
- <math>\Delta v_2 = \sqrt{ \frac{2 \mu}{r_b} - \frac{\mu}{a_2}} - \sqrt{ \frac{2 \mu}{r_b} - \frac{\mu}{a_1}}.</math>
Наконец, когда достагется финальная круговая орбита радиуса <math>r_2</math>, аппарату придаётся вектор скорости против движения по орбите (вектор в положении 3 на рисунке) для перехода на итоговую круговую орбиту (красная окружность). Финальная добавка скорости равна
- <math>\Delta v_3 = \sqrt{ \frac{2 \mu}{r_2} - \frac{\mu}{a_2}} - \sqrt{\frac{\mu}{r_2}}.</math>
Если <math>r_b = r_2</math>, то манёвр преобразуется в гомановскую траекторию (в этом случае <math>\Delta v_3</math> равно нулю). Следовательно, биэллиптическая орбита представляет более общий тип траектории, чем гомановская.
Максимальная экономия в смысле добавочной скорости может быть вычислена в предположении <math>r_b = \infty</math>, тогда полное значение <math>\Delta v</math> принимает вид <math>\sqrt{\mu/r_1} \left(\sqrt 2 - 1\right) \left(1 + \sqrt{r_1/r_2}\right)</math>.
В таком случае переход называется бипараболическим, поскольку оба участка траектории являются не эллипсами, а параболами. Время перелёта также стремится к бесконечности.
Время перелёта
Как и в случае гомановского перелёта, обе части траектории, используемой в биэллиптическом перелёте, являются в точности половинами эллипсов. Это означает, что время, необходимое для преодоления каждой фазы перехода, является половиной орбитального периода для каждого эллипса.
Используем уравнение для орбитального периода и указанные выше обозначения:
- <math>T = 2 \pi \sqrt{\frac{a^3}{\mu}}.</math>
Полное время перелёта <math>t</math> является суммой промежутков времени для каждой из половин эллипсов, следовательно
- <math>t_1 = \pi \sqrt{\frac{a_1^3}{\mu}}, \quad \quad t_2 = \pi \sqrt{\frac{a_2^3}{\mu}}.</math>
Итоговый интервал времени:
- <math>t = t_1 + t_2.</math>
Сравнение с гомановской траекторией
Дельта-v
Рисунок показывает полное значение <math>\Delta v</math>, требуемое для перехода с круговой орбиты радиуса <math>r_1</math> на другую круговую орбиту радиуса <math>r_2</math>. Величина <math>\Delta v</math> нормирована на орбитальную скорость начальной орбиты, <math>v_1</math> и представлена в виде функции отношения радиусов конечной и начальной орбиты <math>R \equiv r_2 / r_1</math>; таким образом, сопоставление величин является общим, не зависящим от <math>r_1</math> и <math>r_2</math> по отдельности, а только от их отношения[2].
Чёрная кривая показывает значение <math>\Delta v</math> для гомановской траектории, цветные кривые соответствуют биэллиптическим траекториям с различными значениями параметра <math>\alpha \equiv r_b / r_1</math>, определённого как расстояние апоцентра <math>r_b</math> биэллиптической орбиты, делённое на радиус начальной орбиты, и указанного рядом с кривыми. На врезке крупным планом показана область, где кривые для биэллиптических траекторий пересекают кривую для гомановской орбиты первый раз.
Можно заметить, что гомановский перелёт является более эффективным при отношении радиусов <math>R</math> меньшем 11,94. С другой стороны, если радиус итоговой орбиты более чем в 15,58 раз превышает радиус начальной орбиты, то любой биэллиптический переход вне зависимости от апоцентрического расстояния (оно должно всё же превышать радиус итоговой орбиты) требует меньшую <math>\Delta v</math> чем гомановская траектория. В области от 11,94 до 15,58 эффективность той или иной орбиты зависит от апоцентрического расстояния <math>r_b</math>. Для заданного <math>R</math> в этом диапазоне существует значение <math>r_b</math>, выше которого предпочтительна биэллиптическая траектория и ниже которого предпочтительна гомановская траектория. В следующей таблице указаны значения <math>\alpha \equiv r_b / r_1</math> для некоторых случаев[4].
| Отношение радиусов орбит, <math>r_2/r_1</math> | Минимум <math>\alpha \equiv r_b/r_1</math> | Комментарий |
|---|---|---|
| 0 — 11,94 | - | Гомановский перелёт лучше |
| 11,94 | <math>\infty</math> | Бипараболическая траектория |
| 12 | 815,81 | |
| 13 | 48,90 | |
| 14 | 26.10 | |
| 15 | 18,19 | |
| 15,58 | 15,58 | |
| более 15,58 | более <math>r_2/r_1</math> | Любая биэллиптическая траектория лучше |
Время перелёта
Длительное время перелёта по биэллиптической орбите
- <math> t=\pi\sqrt{\frac{a_1^3}{\mu}}+\pi\sqrt{\frac{a_2^3}{\mu}}</math>
является существенным недостатком такого орбитального манёвра. В случае бипараболической траектории время перелёта становится бесконечным.
Гомановский перелёт обычно требует меньше времени, поскольку движение происходит только по половине эллипса переходной орбиты:
- <math> t=\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}.</math>
Пример
Для перехода с низкой круговой орбиты радиуса r0 = 6700 км вокруг Земли на новую круговую орбиту радиуса r1 = 93 800 км при использовании гомановской траектории потребуется Δv, равное 2825,02 + 1308,70 = 4133;72 м/с. Поскольку r1 = 14r0 > 11,94r0, то биэллиптическая траектория позволит затратить меньшую Δv. Если космическому аппарату сначала придать дополнительную скорость 3061,04 м/с, переведя таким образом на эллиптическую орбиту с апогеем при r2 = 40r0 = 268 000 км, а затем в апогее придать ещё 608,825 м/с для достижения новой орбиты с перигеем на расстоянии r1 = 93 800 км, и в конце манёвра в перицентре второго участка переходной орбиты уменьшить скорость на 447,662 м/с, переведя аппарат на итоговую орбиту, то полное значение Δv будет равно 4117,53 м/с, что на 16,19 м/с (0,4 %) меньше, чем при гомановской траектории.
Уменьшение значения Δv можно усилить при увеличении промежуточного апогея, увеличив при этом время перелёта. Например, при апогее 75,8r0 = 507 688 км (в 1,3 раза превышает среднее расстояние от Земли до Луны) уменьшение Δv относительно гомановской траектории составит 1 %, но перелёт займёт 17 суток. В случае крайне большого расстояния в апоцентре, 1757r0 = 11 770 000 км (в 30 раз превышает среднее расстояние от Земли до Луны) экономия составит 2 % по сравнению с гомановской орбитой, но перелёт займёт 4,5 года (без учёта гравитационных возмущений от других тел Солнечной системы). Для сравнения, перелёт по гомановской траектории займёт 15 часов 34 минуты.
| Тип | Траектория Гомана |
Биэллиптическая траектория | |||
|---|---|---|---|---|---|
| Апогей, км | 93 800 | 268 000 | 507 688 | 11 770 000 | ∞ |
| Добавка скорости 1 (м/с) | Шаблон:Blue | Шаблон:Blue | Шаблон:Blue | Шаблон:Blue | Шаблон:Blue |
| Добавка скорости 2 (м/с) | Шаблон:Blue | Шаблон:Blue | Шаблон:Blue | Шаблон:Blue | 0 |
| Добавка скорости 3 (м/с) | 0 | Шаблон:Red | Шаблон:Red | Шаблон:Red | Шаблон:Red |
| Суммарное значение (м/с) | 4133,72 | 4117,53 | 4092,38 | 4051,04 | 4048,76 |
| Отношение | 100 % | 99,6 % | 99,0 % | 98,0 % | 97,94 % |
На биэллиптической орбите большая часть Δv передаётся в первый момент, что вносит большой вклад в орбитальную энергию тела.
Примечания
