Блумберг — воспитанник клуба «Лунд» из своего родного города. В 2009 году Юзан перешёл в «Энгельхольм». 17 мая в матче против «Квидинга» он дебютировал в Суперэттан[1]. 19 июня 2010 года в поединке против «Тролльхеттана» Юхан забил свой первый гол за «Энгельхольм»[2]. В начале 2012 года Блумберг перешёл в «Хальмстад». 9 апреля в матче против «Хаммарбю» он дебютировал за новую команду[3]. 16 июня в поединке против «Варнамо» Юхан забил свой первый гол за «Хальмстад»[4]. По итогам сезона Блумберг помог команде выйти в элиту. В 2013 году в матче против «Мальмё» он дебютировал в Аллсвенскане.
4 ноября 2014 года Блумберг перешёл в АИК[5]. 6 апреля в матче против своего бывшего клуба «Хальмстад» он дебютировал за новую команду[6]. В этом же поединке Юхан забил свой первый гол за АИК.
20 ноября 2017 года Блумберг перешёл в клуб MLS «Колорадо Рэпидз»[7]. В американской лиге он дебютировал 9 марта 2018 года в матче против «Нью-Инглэнд Революшн»[8]. 13 августа 2019 года Блумберг вернулся играть на родину, отправившись в аренду в клуб Аллсвенскана «Сундсвалль» на оставшийся срок его контракта с «Колорадо Рэпидз»[9], до конца сезона[10].
6 мая 2020 года Блумберг вернулся в «Сундсвалль», подписав контракт на два сезона[11]. 31 января 2021 года Блумберг расторг контракт с «Сундсваллем» по взаимному согласию сторон[12], после чего перешёл в «Треллеборг», подписав двухлетний контракт[13].
