Русская Википедия:Болотов, Евгений Александрович

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:ФИО Шаблон:Учёный Евгений Александрович Болотов (1870, Казань — Шаблон:ДС, Москва) — русский учёный-Шаблон:Механик, профессор.

Биография

Родился в 1870 году в Казани в семье архитектора Александра Андреевича Болотова. Окончил с золотой медалью Первую казанскую гимназию, а в 1887 году с дипломом первой степени — математическое отделение физико-математического факультета Казанского университетаШаблон:Sfn.

В 1896 году стал приват-доцентом Московского университета по кафедре прикладной математики, которую тогда возглавлял Н. Е. ЖуковскийШаблон:Sfn.

В период с 1900 по 1914 годы преподавал в Императорском Московском техническом училище. В 1907 году Болотова утвердили в степени магистра прикладной математики за работу «О движении материальной плоской фигуры, стеснённой связями с трением». Сохранился отзыв Н. Е. Жуковского на эту работу, где отмечалось, что главная заслуга её автора — геометрический анализ, позволивший до конца разъяснить все механические аспекты движения материальной площадкиШаблон:Sfn.

В 1909—1910 годах Болотов читал в Московском техническом училище курс теории упругости (его лекции были стенографированы и подготовлены к печати В. П. Ветчинкиным, но так и не были изданы). Им были написаны учебные руководства по курсам математического анализа (изданы в 1912 году) и аналитической геометрии, читавшиеся много лет. Одновременно, он вёл упражнения по курсу теоретической и аналитической механики, читавшемуся Н. Е. ЖуковскимШаблон:Sfn.

Жуковский высоко оценивал лекторское мастерство БолотоваШаблон:Sfn:Шаблон:Начало цитаты… Его (Е. А. Болотова) блестящие лекторские способности с удовольствием вспоминаются его благодарными учениками по техническому училищу. Он умел всегда в самой простой форме указать на суть разбираемой задачи. Его учёные работы «Задача о разложении данного винта», «О движении материальной плоской фигуры со связями с трением», «О теореме Гаусса» отличаются простотой изложения и оригинальностью мысли. Вторая работа была представлена на магистерскую диссертацию в Московском университете и послужила к разъяснению многих парадоксов в вопросе динамики с трением. Наконец, его последнее сочинение о некотором приложении теоремы Гаусса могло быть принято как докторская диссертация…Шаблон:Конец цитаты

В 1914 году по рекомендациям профессоров А. П. Котельникова, Д. И. Дубяго, Д. А. Гольдгаммера, Н. Н. Парфентьева Болотов был приглашён в Императорский Казанский университет заведующим кафедрой теоретической и практической механикиШаблон:Sfn. С этого времени вплоть до 1921 года он — ординарный профессор Казанского университета.

В 1917 году Е. А. Болотов был утверждён проректором Казанского университета; 19 октября 1918 года избран, а 12 ноября утверждён в должности ректора Казанского университета. Выбыл из состава профессоров 1 января 1919 года, сложив с себя полномочия ректора; однако (после нового избрания Болотова в феврале профессором по кафедре механики) он 22 февраля этого года вновь был избран на должность ректора.

22 января 1921 года вышел в отставку с должности ректора Казанского университета. В том же году (после того, как 17 марта 1921 года умер Н. Е. Жуковский, заведовавший в Московском высшем техническом училище кафедрой теоретической механики) Е. А. Болотова вновь пригласили в МВТУ — возглавить эту кафедру. Болотов согласился и 15 декабря 1921 года был избран профессором по кафедре теоретической механики, но заведовал ей меньше года: 13 сентября 1922 года он скончался.

Научная деятельность

Научные исследования Е. А. Болотова посвящены различным разделам теоретической и аналитической механики. Вкладом в теорию винтов стала[1] его первая научная работа — статья 1893 года, в которой он решал задачу о разложении заданного винта на два винта с одинаковыми параметрами. Интерес представляют такжеШаблон:Sfn работы Е. А. Болотова в области гидромеханики, в которых исследовались движение тяжёлой несжимаемой жидкости и влияние ветра на скорость распространения малых волн по поверхности жидкостиШаблон:Sfn.

Важнейшее место в научном наследии Е. А. Болотова занимает его статья «О принципе Гаусса», изданная в 1916 г. в Казани и представляющая собойШаблон:Sfn монографию, посвящённую тщательному логическому анализу наиболее общего из дифференциальных вариационных принципов механики — принципа наименьшего принуждения Гаусса и ряда его обобщений. В этой работе, высоко оценённой Н. Е. Жуковским, Болотов обобщил принцип Гаусса на случай освобождения механической системы от части связей — позднее это направление исследований продолжили другие представители казанской школы механиков: Н. Г. Четаев, М. Ш. Аминов и др.Шаблон:Sfn

Как известно[2], принцип наименьшего принуждения позволяет для каждого момента времени выделять действительное движение среди всех кинематически осуществимых её движений, то есть движений, допускаемых наложенными на систему связями (текущее состояние системы предполагается фиксированным; реализовать такие движения можно, изменив приложенные к системе активные силыШаблон:Sfn. Современная формулировка принципа Гаусса применительно к системе материальных точек такова[3][4]: В каждый момент времени действительное движение механической системы с идеальными связями выделяется среди всех её кинематически осуществимых движений тем, что для него значение принуждения

<math>Z\;=\;\frac{1}{2}\;\overset{}{\overset{N}{\underset{\nu=1}{\sum}}}\,m_{_{\nu}}\left(\mathbf{w}_{_{\nu}}-\frac{\mathbf{F}_{_{\nu}}}{m_{_{\nu}}}\right)^{2}</math>

минимально. Здесь <math>N</math> — число точек, входящих в систему, <math>m_{_{\nu}}</math> — масса <math>\nu</math>-й точки, <math>\mathbf{F}_{_{\nu}}</math> — равнодействующая приложенных к ней активных сил, <math>\mathbf{w}_{_{\nu}}</math> — ускорение данной точки в кинематически осуществимом движении системы.

Поскольку в силу II закона Ньютона вектор <math>\mathbf{F}_{_{\nu}}\,/\,m_{_{\nu}}=\mathbf{w}^{\circ}_{\nu}</math> есть ускорение <math>\nu</math>-й точки освобождённой от всех связей системы, выражению для принуждения <math>Z</math> можно придать вид

<math>(*)\;\;\;\;Z\;=\;\frac{1}{2}\;\overset{}{\overset{N}{\underset{\nu=1}{\sum}}}\,m_{_{\nu}}\left(\mathbf{w}_{_{\nu}}-\,\mathbf{w}^{\circ}_{\nu}\right)^2\,;</math>

разность, стоящая в скобках, есть составляющая вектора ускорения <math>\nu</math>-й точки, вызванная действием связей. Именно они и принуждают систему со связями отклоняться от движения, свойственного освобождённой системеШаблон:Sfn.

Рассмотрим, следуя Болотову, ряд обобщений принципа Гаусса.

Принцип Гаусса в форме Маха — Болотова

В 1883 г. Э. Мах, рассматривавший (как и сам Гаусс) лишь системы с двусторонними голономными связями, сформулировал[5] (без доказательства) следующее обобщение принципа Гаусса: его утверждение останется справедливым, если применить не полное, а частичное освобождение от связейШаблон:SfnШаблон:Sfn. Выражение <math>(*)</math> для принуждения <math>Z</math> при этом остаётся неизменным, но роль векторов <math>\mathbf{w}^{\circ}_{_{\nu}}</math> в нём будут играть уже ускорения точек системы в движении, ограниченном меньшим числом связейШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Е. А. Болотов строго доказал указанное обобщение принципа Гаусса, распространив егоШаблон:Sfn на случай наличия неголономных связей, линейных по скоростям. При этом он первым указал на необходимость строгого определения понятия возможного перемещения при применении дифференциальных вариационных принципов механики к неголономным системам. Позднее Н. Г. Четаев в 1932—1933 гг. дал[6] для понятия возможного перемещения новое (аксиоматическое) определение и показал, что принцип наименьшего принуждения в форме Маха — Болотова применим и для нелинейных неголономных системШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Рассмотренное обобщение принципа Гаусса представляет значительный практический интерес. Например, оно используется при компьютерном моделировании динамики систем твёрдых тел[7], когда при вычислении принуждения (которое минимизируется методами математического программирования) отбрасывают связи между телами системы, но не связи между точками, входящими в состав каждого из тел. Данное обобщение излагается в ряде учебников теоретической механикиШаблон:Sfn.

Принцип Гаусса в форме Больцмана — Болотова

Идею дальнейшего обобщения принципа Гаусса выдвинул[8] в 1897 г. Л. Больцман. Он указал, что при наличии односторонних связей утверждение данного принципа останется справедливым, если применить частичное освобождение от связей, отбрасывая все односторонние связи и произвольное число связей двустороннихШаблон:Sfn; однако приведённое Больцманом обоснование выдвинутого им положения ясностью не отличалось и вызвало ряд упрёковШаблон:Sfn.

Болотов строго доказал и это обобщение принципа Гаусса (именуемое нынеШаблон:Sfn принципом наименьшего принуждения в форме Больцмана — Болотова), сделав при этом важное для практического использования принципа замечание.

Чтобы сформулировать его, запишем (предполагая, что ограничения, налагаемые на скорости точек односторонними связями, выполнены в виде равенств; те связи, которые ослаблены по скоростям, вообще никак не ограничивают в текущий момент времени движение точек системы) условия, налагаемые соответственно двусторонними и односторонними связями на ускорения точек:

<math>a_s\;=\;0\,,\;\;s\,=\,1,\, \dots ,\,l\,;\;\;\;\;a_s\,\geqslant\;0\,,\;\;s\,=\,l+1,\, \dots ,\,r\,;</math>

здесь <math>l</math> — число двусторонних, а <math>r-l</math> — число односторонних связей; неотрицательные скаляры <math>a_s</math>, называемые ускорениями ослабления связей, имеютШаблон:Sfn вид:

<math>a_s\;=\;\overset{}{\overset{N}{\underset{\nu=1}{\sum}}}\,\,(\mathbf{c}_{s{\nu}}\,,\,\mathbf{w}_{\nu})\,+\,d_s\,,</math>

где величины <math>\mathbf{c}_{s{\nu}}</math> и <math>d_s</math> зависят от состояния и времени, а при минимизации принуждения являются константами; круглые скобки обозначают скалярное произведение трёхмерных векторов.

Суть упомянутого замечания Болотова состоит в том, что при минимизации принуждения <math>Z</math> следует рассматривать среди всех кинематически осуществимых движений лишь те, для которых ускорения ослабления каждой из односторонних связей не меньше ускорений их ослабления в действительном движенииШаблон:Sfn.

Порядок применения обобщённого принципа Гаусса к задачам с односторонними связями Болотов иллюстрируетШаблон:Sfn применительно к задаче о движении весомого однородного стержня, у которого конец <math>A</math> опирается на гладкую горизонтальную плоскость <math>Oxy</math>, а конец <math>B</math> может скользить по линии пересечения двух других гладких плоскостей <math>Oxz</math> и <math>Oyz</math>, перпендикулярных первой плоскости и друг другу. Болотов проводит полный анализ данной задачи и определяет условия, при которых тот или иной конец стержня отрывается от плоскости, на которую он опирался. Данная задача интересна тем, что применительно к ней даёт неверные результаты метод выявления ослабляемой связи, предложенный в 1838 г. М. В. Остроградским в мемуаре «О мгновенных перемещениях систем, подчинённых переменным условиям»[9]; ошибку в рассуждениях Остроградского нашёл в 1889 г. А. Майер[10].

В 1990 году В. А. Синицын получил ещё одну форму принципа Гаусса[11], в которой (при надлежащих ограничениях на рассматриваемые кинематически осуществимые движения) допускается освобождение системы не от всех (как у Болотова), а лишь от части односторонних связейШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Принцип Гаусса в теории удара

Е. А. Болотов показал, что обобщённый принцип Гаусса применим также и к ряду задач теории удара, но эти его результаты носят менее общий характер, причём он ограничивается лишь случаем абсолютно неупругого удара. Иллюстрирует свой метод Болотов на уже упоминавшейся задаче о весомом однородном стержне (предполагая, что к центру масс стержня прикладывается заданный ударный импульс)Шаблон:Sfn.

Публикации

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Шаблон:ВС Шаблон:Ректоры Казанского университета

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Книга — С. 14.
  2. ↑ Румянцев В. В. Вариационные принципы классической механики // Математическая энциклопедия. Т. 1. — Шаблон:М.: Сов. энциклопедия, 1977. — 1152 стб. — Стб. 596—603.
  3. ↑ Шаблон:Книга. — С. 526.
  4. ↑ Шаблон:Книга. — С. 89—90.
  5. ↑ Шаблон:Книга
  6. ↑ Четаев Н. Г. О принципе Гаусса // Изв. Физ.-матем. об-ва при Казан. ун-те. Сер. 3. 1932—1933. Т. 6. — С. 68—71.
  7. ↑ Шаблон:Книга — С. 77—102.
  8. ↑ Шаблон:Книга
  9. ↑ Ostrogradsky M. V. Mémoire sur les déplacements instantanés des systèmes assujettis à des conditions variables // Mémoires de l’Académie des sciences de St.-Pétersbourg. VI sér., sciences math., phys. et nat., 1, 1838. — P. 565—600.
  10. ↑ Шаблон:Книга — С. 245—246.
  11. ↑ Синицын В. А. О принципе наименьшего принуждения для систем с неудерживающими связями // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 6. — С. 920—925.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Болотов,_Евгений_Александрович&oldid=9225036