Русская Википедия:Большая полуось
Большая полуось — один из основных геометрических параметров объектов, образованных посредством конического сечения.
Эллипс
Большой осью эллипса называется его наибольший диаметр — отрезок проходящий через центр и два фокуса. Большая полуось составляет половину этого расстояния и идёт от центра эллипса к его краю через фокус.
Под углом в 90° к большой полуоси располагается малая полуось — минимальное расстояние от центра эллипса до его края. У частного случая эллипса — круга — большая и малая полуоси равны и являются радиусами. Таким образом, можно рассматривать большую и малую полуоси как некоего рода радиусы эллипса.
Длина большой полуоси <math>a</math> связана с длиной малой полуоси <math>b</math> через эксцентриситет <math>e</math>, фокальный параметр <math>p</math> и фокальное расстояние (полурасстояние между фокусами) <math>\boldsymbol c</math> следующим образом:
- <math>b = a \sqrt{1-e^2},</math>
- <math>p = a(1-e^2),</math>
- <math>ap=b^2.</math>
- <math>a^2 = b^2 + c^2</math>
Большая полуось представляет собой среднее арифметическое между расстояниями от любой точки эллипса до его фокусов.
Рассмотрев уравнение в полярных координатах, с точкой в начале координат (полюс) и лучом, начинающейся из этой точки (полярная ось):
- <math>r(1-e\cos\theta) = p</math>
Получим средние значения <math>r={p\over{1+e}}</math> и <math>r={p\over{1-e}}</math> и большую полуось <math>a={p\over 1-e^2}.</math>
Парабола
Параболу можно получить как предел последовательности эллипсов, где один фокус остаётся постоянным, а другой отодвигается в бесконечность, сохраняя <math>p</math> постоянным. Таким образом <math>a</math> и <math>b</math> стремятся к бесконечности, причём <math>a</math> быстрее, чем <math>b</math>.
Гипербола
Большая полуось гиперболы составляет половину минимального расстояния между двумя ветвями гиперболы, на положительной и отрицательной сторонах оси <math>x</math> (слева и справа относительно начала координат). Для ветви расположенной на положительной стороне, полуось будет равна:
- <math>\frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} = 1.</math>
Если выразить её через коническое сечение и эксцентриситет, тогда выражение примет вид:
- <math>a={p \over e^2-1 }</math>.
Прямая, содержащая большую ось гиперболы, называется поперечной осью гиперболы.[1]
Астрономия
Орбитальный период
В небесной механике орбитальный период <math>T</math> обращения малых тел по эллиптической или круговой орбите вокруг более крупного центрального тела рассчитывается по формуле:
- <math>T = 2\pi\sqrt{a^3 \over \mu}</math>
где:
- <math>a</math> — это размер большой полуоси орбиты
- <math> \mu</math> — это стандартный гравитационный параметр (произведение гравитационной постоянной на массу объекта <math>\mu= GM\ </math>)
Следует обратить внимание, что в данной формуле для всех эллипсов период обращения определяется значением большой полуоси, независимо от эксцентриситета.
В астрономии большая полуось, наряду с орбитальным периодом, является одним из самых важных орбитальных элементов орбиты космического тела.
Для объектов Солнечной системы большая полуось связана с орбитальным периодом по третьему закону Кеплера.
- <math>\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}</math>
где:
- <math>T</math> — орбитальный период в годах;
- <math>a</math> — большая полуось в астрономических единицах.
Это выражение является частным случаем общего решения задачи двух тел Исаака Ньютона:
- <math>T^2= \frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3</math>
где:
- <math>G</math> — гравитационная постоянная
- <math>M</math> — масса центрального тела
- <math>m</math> — масса обращающегося вокруг него спутника. Как правило, масса спутника настолько мала по сравнению с массой центрального тела, что ею можно пренебречь. Поэтому, сделав соответствующие упрощения в этой формуле, получим данную формулу в упрощённом виде, который приведён выше.
Орбита движения спутника вокруг общего с центральным телом центра масс (барицентра), представляет собой эллипс. Большая полуось используется в астрономии всегда применительно к среднему расстоянию между планетой и звездой, в результате орбиты планет Солнечной системы приведены к гелиоцентрической системе, а не к системе движения вокруг центра масс. Эту разницу удобнее всего проиллюстрировать на примере системы Земля—Луна. Отношение масс в этом случае составляет 81,30059. Большая полуось геоцентрической орбиты Луны составляет Шаблон:Число, в то время как расстояние до Луны относительно центра масс системы Земля—Луна составляет Шаблон:Число — из-за влияния массы Луны центр масс находится не в центре Земли, а на расстоянии Шаблон:Число от него. В итоге средняя орбитальная скорость Луны относительно центра масс составляет 1,010 км/с, а средняя скорость Земли — 0,012 км/с. Сумма этих скоростей даёт орбитальную скорость Луны 1,022 км/с; то же самое значение можно получить, рассматривая движение Луны относительно центра Земли, а не центра масс.
Среднее расстояние
Часто говорят, что большая полуось является средним расстоянием между центральным и орбитальным телом. Это не совсем верно, так как под средним расстоянием можно понимать разные значения — в зависимости от величины, по которой производят усреднение:
- усреднение по эксцентрической аномалии. В таком случае среднее расстояние будет точно равно большой полуоси орбиты.
- усреднение по истинной аномалии, тогда среднее расстояние будет точно равно малой полуоси орбиты.
- усреднение по средней аномалии даст значение среднего расстояния, усреднённое по времени:
- <math>a \left(1 + \frac{e^2}{2}\right).</math>
- усреднение по радиусу, которое получают из следующего соотношения:
- <math>\sqrt{ab} = a\sqrt[4]{1-e^2}.</math>
Энергия; расчёт большой полуоси методом векторов состояния
В небесной механике большая полуось <math>a</math> может быть рассчитана методом векторов орбитального состояния:
- <math> a = { - \mu \over {2\varepsilon}}</math>
- <math> a = {\mu \over {2\varepsilon}}</math>
для гиперболической траектории
и
- <math> \varepsilon = { v^2 \over {2} } - {\mu \over \left | \mathbf{r} \right |} </math>
(удельная орбитальная энергия)
и
- <math> \mu = G(M+m )</math>
(стандартный гравитационный параметр), где:
- <math>v</math> — орбитальная скорость спутника, на основе вектора скорости,
- <math>r</math> — вектор положения спутника в координатах системы отсчёта, относительно которой должны быть вычислены элементы орбиты (например, геоцентрический в плоскости экватора — на орбите вокруг Земли, или гелиоцентрический в плоскости эклиптики — на орбите вокруг Солнца),
- <math>G</math> — гравитационная постоянная,
- <math>M</math> и <math>m</math> — массы тел.
Большая полуось рассчитывается на основе общей массы и удельной энергии, независимо от значения эксцентриситета орбиты.
Большие и малые полуоси орбит планет
Орбиты планет всегда приводятся в качестве главных примеров эллипсов (первый закон Кеплера). Однако минимальная разница между большой и малой полуосями показывает, что они практически круговые по внешнему виду. Эта разница (или соотношение) основывается на эксцентриситете и вычисляется как <math>a/b = 1/\sqrt{1 - e^2}</math>, что для типичных эксцентриситетов планет дает очень малые значения. Причина предположения о значительной эллиптичности орбит, вероятно, кроется в гораздо большей разнице между афелием и перигелием. Эта разница (или соотношение) также основывается на эксцентриситете и рассчитывается как <math>r_\text{a}/r_\text{p} = (1 + e)/(1 - e)</math>. Из-за большой разницы между афелием и перигелием второй закон Кеплера легко изобразить графически.
Эксцентриситет | Большая полуось a (а. е.) | Малая полуось b (а. е.) | Разница (%) | Перигелий (а. е.) | Афелий (а. е.) | Разница (%) | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Меркурий | 0.206 | 0.38700 | 0.37870 | 2.2 | 0.307 | 0.467 | 52 |
Венера | 0.007 | 0.72300 | 0.72298 | 0.002 | 0.718 | 0.728 | 1.4 |
Земля | 0.017 | 1.00000 | 0.99986 | 0.014 | 0.983 | 1.017 | 3.5 |
Марс | 0.093 | 1.52400 | 1.51740 | 0.44 | 1.382 | 1.666 | 21 |
Юпитер | 0.049 | 5.20440 | 5.19820 | 0.12 | 4.950 | 5.459 | 10 |
Сатурн | 0.057 | 9.58260 | 9.56730 | 0.16 | 9.041 | 10.124 | 12 |
Уран | 0.046 | 19.21840 | 19.19770 | 0.11 | 18.330 | 20.110 | 9.7 |
Нептун | 0.010 | 30.11000 | 30.10870 | 0.004 | 29.820 | 30.400 | 1.9 |
См. также
Примечания
Ссылки
- Semi-major and semi-minor axes of an ellipse Шаблон:Wayback With interactive animation
Шаблон:Выбор языка Шаблон:Орбиты Шаблон:Небесная механика Шаблон:Rq