Русская Википедия:Бордизм
Бордизм, также бордантность — термин топологии, употребляющийся самостоятельно или в составе стандартных словосочетаний в нескольких родственных смыслах, почти во всех из них вместо бордизм раньшеШаблон:Нет АИ говорили о кобордизмах, старая терминология тоже сохранилась.
Неориентированные бордизмы
Неориентированные бордизмы — простейший вариант бордизмов. Два гладких замкнутых <math>n</math>-мерных многообразия <math>M</math> и <math>M'</math> бордантны (ограничивают, или внутренне гомологичны), если существует гладкое компактное <math>(n+1)</math>-мерное многообразие <math>W</math> (называемое плёнка), край которого состоит из двух многообразий <math>M</math> и <math>M'</math>, (или точнее многообразий <math>M_0</math> и <math>M_1</math> диффеоморфных, соответственно, <math>M</math> и <math>M'</math> посредством некоторых диффеоморфизмов <math>g_0\colon M\to M_0</math> и <math>g_1\colon M'\to M_1</math>). Совокупность многообразий, бордантных друг другу, называется классами бордизмов, а тройку <math>(W,\;M_0,\;M_1)</math> называют бордизмом (точнее было бы говорить о пятёрке <math>(W,\;M_0,\;M_1,\;g_0,\;g_1)</math>).
Множество классов бордизмов <math>n</math>-мерных многообразий образует абелеву группу <math>\Omega_n^O</math> относительно несвязного объединения, называемую группой бордизмов. Нулем в ней служит класс бордизмов, состоящих из многообразий, которые являются границей некоторого многообразия (другие названия: <math>M</math> — ограничивающее многообразие, <math>M</math> — внутренне гомологично, или бордантно нулю). Элементом <math>\Omega_n^O</math> обратным данному классу бордизмов, является сам этот класс (так как объединение двух копий <math>M</math> диффеоморфно границе прямого произведения <math>M\times [0,\;1]</math>). Прямая сумма <math>\Omega_*^O</math> групп <math>\Omega_n^O</math> является коммутативным градуированным кольцом, умножение в котором индуцировано прямым произведением многообразий, с единицей, заданной классом бордизмов точки.
Бордизмы с дополнительной структурой
Ориентированные бордизмы
Ориентированные бордизмы — наиболее простой тип бордизмов гладких замкнутых многообразий с дополнительной структурой. Два ориентированных многообразия <math>M</math> и <math>M'</math> ориентированно бордантны, если они бордантны в прежнем смысле, причём плёнка <math>W</math> ориентирована, и (в прежних обозначениях) ориентация, индуцированная ориентацией <math>W</math> на <math>M_0</math> и <math>M_1</math> (как на частях края), переходит при диффеоморфизмах <math>g_0</math> и <math>g_1</math>, соответственно, в исходную ориентацию <math>M</math> и в ориентацию, противоположную исходной ориентации <math>M'</math>. Аналогично <math>\Omega_n^O</math>, и <math>\Omega_*^O</math> вводятся группы ориентированных бордизмов <math>\Omega_n^{SO}</math> и кольцо <math>\Omega_*^{SO}</math>.
Другие варианты
Другие варианты бордизмов многообразий с дополнительной структурой — очень важные бордизмы квазикомплексных многообразий (называемые также унитарными бордизмами), бордизмы многообразий, на которых действует группа преобразований, <math>\mathrm{Spin}</math>-бордизмы. Имеются также варианты несколько иного рода, для кусочно линейных или топологических многообразий, для комплексов Пуанкаре и т. д. Особое положение занимают бордизмы слоений и <math>h</math>-бордизмы (ранее называемые <math>J</math>-эквивалентностями); последние служат для связи дифференциальной и гомотопической топологии.
Свойства
- Два многообразия бордантны, тогда и только тогда, когда у них совпадают характеристические числа (числа Штифеля — Уитни в неориентируемом случае и числа Штифеля — Уитни и числа Понтрягина — в ориентируемом).
История
Первый пример — бордизм оснащённых многообразий, введённый в 1938 году Понтрягиным, который показал, что классификация этих бордизмов эквивалентна вычислению гомотопических групп сфер <math>\pi_i(S^n)</math>, и таким путём смог найти <math>\pi_{n+1}(S^n)</math> и <math>\pi_{n+2}(S^n)</math>. Неориентированные и ориентированные бордизмы были введены в 1951—53 годах Рохлиным, вычислившим <math>\Omega_n^{SO}</math> для <math>n\leqslant4</math>. Понтрягин доказал, что если два многообразия бордантны, то у них совпадают характеристические числа. Впоследствии оказалось, что обратное тоже верно.
Литература
- Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология / Пер. с англ. — Шаблон:М: Мир, 1972. — 280 с.
См. также
