Русская Википедия:Бра и кет
| ⟨ | ∣ | ⟩ |
| bra | ket | |
| бра | кет | |
| ско | бка |
Шаблон:Квантовая механика Бра и кет (Шаблон:Lang-en < bracket скобка) — алгебраический формализм (система обозначений), предназначенный для описания квантовых состояний. Называется также обозначениями Дирака. В матричной механике данная система обозначений является общепринятой. Данная система обозначений представляет собой не более чем иные текстуальные обозначения для векторов, ковекторов, билинейных форм и скалярных произведений, и потому применима (хотя и не так часто используется) в линейной алгебре вообще. В тех случаях, когда данная система обозначений используется в линейной алгебре, обычно речь идет о бесконечно-мерных пространствах и/или о линейной алегбре над комплексными числами.
Определение и использование
В квантовой механике состояние системы описывается лучом в сепарабельном гильбертовом пространстве, или, что эквивалентно, элементом проективного гильбертового пространства <math>\mathcal{H},</math> элементы которого называются «векторы состояния» («кет-векторы») и обозначаются символом <math>|\psi\rangle</math>.
Каждому кет-вектору <math>|\psi\rangle</math> ставится в соответствие бра-вектор из пространства, сопряжённого к <math>\mathcal{H},</math> то есть из <math>\mathcal{H}^*.</math>
Бра-вектор <math>\langle \psi |</math> из пространства <math>\mathcal{H}^*</math> определяется соотношением:
<math>\langle\psi|\colon \mathcal H \to \mathbb{C}\colon \langle \psi | \left( |\rho\rangle \right)\rangle = \left( |\psi\rangle,\; |\rho\rangle \right)</math>, для любого кет-вектора <math>|\rho\rangle.</math>
Допуская некоторую вольность речи, иногда говорят, что бра-векторы «совпадают» с соответствующими им комплексно-сопряжёнными кет-векторами. При этом обычно происходит отождествление векторов и функционалов над векторами со столбцами или строками координат разложения их по соответствующему базису <math>\mathcal{H}^*</math> или <math>\mathcal{H}.</math>
Скалярное произведение бра-вектора с кет-вектором (а точнее, действие бра-вектора на кет-вектор) записывается в виде <math>\langle \varphi |\psi\rangle;</math> две вертикальные черты «сливаются», а скобки опускаются. Квадрат вектора, по определению гильбертова пространства, неотрицателен: <math>\langle \psi |\psi\rangle \geqslant 0.</math> На векторы, описывающие состояния системы, когда это возможно, накладывается условие нормировки <math>\langle \psi |\psi\rangle = 1.</math>
Линейные операторы
Если <math>A\colon H\to H</math> — линейный оператор из <math>H</math> в <math>H</math>, то действие оператора <math>A</math> на кет-вектор <math>|\psi\rangle</math> записывается как <math>A|\psi\rangle.</math>
Для каждого оператора <math>A</math> и бра-вектора <math>\langle\varphi|</math> вводится функционал <math>(\langle\varphi|A)</math> из пространства <math>\mathcal{H}^*,</math> то есть бра-вектор, умноженный на оператор <math>A</math>, который определяется равенством:
- <math>\bigg(\langle\varphi|A\bigg) \; |\psi\rangle = \langle\varphi| \; \bigg(A|\psi\rangle\bigg),</math> для любого вектора <math>|\psi\rangle.</math>
Так как положение скобок не имеет значения, их обычно опускают и пишут просто <math>\langle\varphi| A|\psi\rangle.</math>
Это выражение называется свёрткой оператора <math>A</math> с бра-вектором <math>\langle \varphi |</math> и кет-вектором <math>|\psi\rangle.</math> Значение этого выражения есть скаляр (комплексное число).
В частности, матричный элемент оператора <math>A</math> в определённом базисе (в тензорных обозначениях — <math>A_{kl}</math>) записывается в обозначениях Дирака как <math>\langle k| A| l\rangle,</math> а среднее значение наблюдаемой (билинейная форма) на состоянии <math>\psi</math> — как <math>\langle\psi| A|\psi\rangle.</math>
Умножение векторов на оператор (кет-вектора — слева, бра-вектора — справа) даёт векторы того же типа и записывается тем же способом, что принят в линейной алгебре (то есть в том случае, если бра- и кет-векторы отождествляются с векторами-строками и столбцами, а операторы — с квадратными матрицами):
- <math> |\tilde\psi\rangle = A|\psi\rangle,</math>
- <math> \langle \tilde\varphi | = \langle \varphi |A.</math>
Уравнение Шрёдингера (для стационарного состояния) будет иметь вид:
- <math> H|\psi\rangle = E|\psi\rangle,</math> где <math>H</math> — гамильтониан, а <math>E</math> — скаляр (уровень энергии).
Отличия бра-кет-обозначений от традиционных
В математике употребляется обозначение «эрмитового» скалярного произведения <math>\langle\varphi,\;\psi\rangle</math> в гильбертовом пространстве, имеющее тот же смысл, что и перемножение бра на кет. Однако математики обычно рассматривают угловые скобки как знак операции, а не части обозначения вектора. Традиционное математическое обозначение, в отличие от дираковского, несимметрично — оба вектора предполагаются величинами одного типа, и по первому аргументу из двух операция является антилинейной.
С другой стороны, произведение бра и кет является билинейным, но от двух аргументов разного типа. Сопряжённым к кет-вектору <math>i|\psi\rangle</math> будет являться бра-вектор <math>-i \langle \psi |</math> (где <math>i</math> — мнимая единица). Однако, в квантовой механике эту странность обозначений позволено игнорировать, поскольку квантовое состояние, представляемое вектором, не зависит от его умножения на любые комплексные числа, по модулю равные единице.
Кроме того, использование бра и кет позволяет подчеркнуть отличие состояния <math>\psi</math> (записывается без скобок и палок) от конкретных векторов, его представляющих.
В отличие от алгебраических обозначений, где элементы базиса обозначаются как <math>e_k,</math> в бра-кет-обозначениях может указываться только индекс базисного элемента: <math>\langle k|\;,\;|l\rangle.</math> Этим они похожи на тензорные обозначения, но, в отличие от последних, позволяют записывать произведения операторов с векторами без использования дополнительных (подстрочных или надстрочных) букв.
Математические свойства
Бра и кет можно использовать и в чистой математике для обозначения элементов сопряжённых друг другу линейных пространств. Если, например, <math>\mathcal{H}=R^n,</math> то кет-векторы считаются при этом «векторами-столбцами», а бра-векторы — «векторами-строками».
Перемножение бра- и кет-векторов друг на друга и на операторы можно рассматривать как частный случай матричного формализма «строка на столбец». А именно, надо положить кет-векторы матрицами размера <math>N\times 1</math>, бра-векторы — размера <math>1\times N</math>, операторы — размера <math>N\times N</math>, где <math>N</math> — количество состояний квантовой системы (размерность пространства <math>\mathcal{H}</math>). Матрицы размера Шаблон:Math имеют единственный элемент и отождествляются со скалярами. В случае бесконечномерного пространства состояний на «матрицы» (фактически ряды) приходится накладывать дополнительные условия сходимости.
Формула для сопряжённого вектора выглядит следующим образом:
| = \begin{pmatrix}\overline{c}_1, \overline{c}_2, \ldots , \overline{c}_N\end{pmatrix},</math> | где | \psi\rangle = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_N \end{pmatrix}</math> |
Запись типа <math>\langle \ldots \rangle</math> всегда означает скаляр. Бра-вектор всегда имеет скобку слева <math>\langle,</math> кет-вектор — скобку справа <math>\rangle.</math> Вводится также произведение в «неестественном» порядке — <math>| \varphi\rangle \langle \psi | </math> (аналогичное матричному умножению вектора-столбца на вектор-строку), которое даёт так называемый кет-бра-оператор. Оператор <math>|\psi\rangle \langle \varphi|</math> имеет ранг 1 и является тензорным произведением <math>|\psi\rangle</math> и <math>\langle \varphi|.</math> Такие операторы часто рассматриваются в теории операторов и квантовых вычислениях. В частности, оператор <math>|\psi\rangle \langle \psi|</math> (при нормировке <math>\langle \psi |\psi\rangle = 1</math>) является проектором на состояние <math>\psi</math>, точнее, на соответственное одномерное линейное подпространство в <math>\mathcal{H}.</math>
Имеет место ассоциативность:
- <math>\langle\varphi |\cdot A|\psi\rangle\ =\ \langle\varphi| A|\psi\rangle\ =\ \langle \varphi |A \cdot| \psi\rangle,</math>
- <math>|\psi\rangle\cdot\langle\varphi|\tilde\psi\rangle\ =\ (|\psi\rangle\langle\varphi|) \cdot| \tilde\psi\rangle</math>
и т. д.
Литература
