Русская Википедия:Броуновский мост
Броуновский мост — это частный случай случайного блуждания с непрерывным временем (винеровского процесса) <math>B(t)</math>, когда начальная и конечная точки совпадают: <math>B(0)=B(1)=0</math>. Стандартный винеровский процесс "привязан" в начальной точке <math>W(0)=0</math>, но имеет свободный конец. Броуновский мост зафиксирован и в начале <math>B(0)=0</math>, и в конце <math>B(1)=0</math>.
Свойства
Броуновский мост имеет среднее <math>{E}\left[B_t\right] = 0</math> и дисперсию <math>\mathrm{D}\left[B_t\right] = t(1-t)</math>, что подразумевает наибольшую неопределенность в середине моста и полную определенность на концах. Ковариация <math>{Cov}\left[B_s,B_t\right] = s(1-t)</math>, где s < t. Приращения не являются независимыми.
Связь с другими случайными процессами
Если W(t) — стандартный винеровский процесс (т.е. для t ≥ 0, W(t) нормально распределено со средним 0 и дисперсией t, а приращения являются независимыми), то имеем броуновский мост
- <math>B\left(t\right) = W(t) - t \cdot W(1)</math>
В свою очередь, если взять броуновский мост B(t) и стандартную нормально распределенную случайную величину Z, то процесс
- <math>W(t) = B\left(t\right) + tZ</math>
будет винеровский процессом для t ∈ [0, 1]. В общем, при t ∈ [0, T] имеем
- <math>W(t) = B\left(\frac{t}{T}\right) + \frac{t}{\sqrt{T}} Z</math>
Броуновский мост является следствием Шаблон:Iw применительно к Шаблон:Iw. Также он используется в критерии согласия Колмогорова-Смирнова для статистического вывода.
Используется при доказательстве теоремы Колмогорова. Пусть функция распределения <math>F(x)</math> непрерывна, рассмотрим случайную величину
- <math>D_n = \sup\limits_{x \in \mathbb{R}}|\hat{F}_n(x) - F(x)|</math>, где
- <math>\hat{F}_n(x) = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n\mathbf{I}\{X_j \leqslant x\}</math> – эмпирическая функция распределения.
Пусть <math>(W_t, t \in [0,1])</math> – винеровский процесс.
Тогда <math>\sqrt{n}\cdot D_n \stackrel d \longrightarrow \max\limits_{t \in [0, 1]}|W_t - tW_1|</math>, то есть максимальный разрыв <math>D_n</math> между истинной функцией распределения и эмпирической (которую легко построить по имеющейся конечной выборке), умноженный на <math>\sqrt{n}</math> (отвечает за скорость сходимости), стремится по распределению к максимуму на отрезке модуля броуновского моста.
Общий случай
В общем случае, когда <math>B(t_1)=a</math> и <math>B(t_2)=b</math>, распределение <math>B(t)</math> при <math>t \in (t_1, t_2)</math> является нормальным:
- <math>B(t) \sim N\left(a + \frac{t-t_1}{t_2-t_1}(b-a), \frac{(t-t_1)(t_2-t)}{t_2-t_1}\right)</math>
Замечание
Предположим, мы сгенерировали последовательность точек W(0), W(1), W(2), W(3) и т.д. винеровского процесса с помощью компьютерной симуляции. Если мы захотим вставить дополнительную точку на интервале [0,1], то мы должны использовать броуновский мост, проходящий через W(0) и W(1).
См. также
