Бустрофедонное преобразование — процедура, которая отображает одну последовательность в другую. Преобразованная последовательность вычисляется путём заполнения Шаблон:Не переведено 5 в манере бустрофедона (зигзага).
Файл:Boustrophedon transform.svgБустрофедонное преобразование: Исходная последовательность показана синим цветом. Добавляем числа, как показано стрелками, считываем полученную последовательность с противоположных позиций в строках (последовательность показана красным цветом, <math>b_0 = a_0</math>).
Если дана последовательность <math>(a_0, a_1, a_2, \ldots)</math>, бустрофедонное преобразование даёт другую последовательность, <math>(b_0, b_1, b_2, \ldots)</math>, которая строится путём заполнения треугольника как показано на рисунке справа. Нумерация строк в треугольнике начинается с 0 и строки заполняются последовательно. Пусть k означает номер заполняемой строки.
Если k нечётно, помещаем число <math>a_k</math> в правую позицию строки и заполняем строку справа налево, записывая каждое новое значение как сумму чисел справа и справа выше. Если k чётно, записываем число <math>a_k</math> в начале строки (слева) и заполняем строку слева направо, записывая каждое новое значение как сумму чисел слева и слева выше.
Если определить <math>b_0 = a_0</math>, числа <math>b_k | k > 0</math>, образующие результирующую последовательность, можно найти слева (в начале) нечётных строк и справа (в конце) чётных, то есть в противоположных позициях числам исходной последовательности <math>a_k</math>.
Рекуррентные отношения
Более формальное определение использует рекуррентную формулу. Определим числа <math>T_{k,n}</math> (with <math>k \geqslant n \geqslant 0</math>) следующим образом
<math>T_{k,0} = a_k</math> для <math>k \geqslant 0,</math>
<math>T_{k,n} = T_{k,n-1} + T_{k-1,k-n}</math> для <math>k \geqslant n > 0. </math>
Тогда результирующая последовательность определяется как <math> b_n = T_{n,n} </math>.
В случае a0 = 1, an = 0 (n > 0) получающийся треугольник называется треугольником Зайделя — Энтрингера — Арнольда, а числа <math>T_{k,n}</math> называются числами Энтрингера (Шаблон:OEIS). В этом случае числа результирующей последовательности bn называются пилообразными (up/down) числами Эйлера. Это последовательность A000111 в «Энциклопедии целочисленных последовательностей». Последовательность содержит число чередующихся перестановокn букв и связана с числами Эйлера и числами Бернулли.
