Русская Википедия:Быстрота
Быстрота́ (Шаблон:Lang-en, иногда применяются[1] также термины гиперскорость и угол лоренцева поворота) — в релятивистской кинематике монотонно возрастающая функция скорости, которая стремится к бесконечности, когда скорость стремится к скорости света. В отличие от скорости, для которой закон сложения нетривиален, для быстроты характерен простой закон сложения («быстрота аддитивна»). Поэтому в задачах, связанных с релятивистскими движениями (например, кинематика реакций частиц в физике высоких энергий), часто удобнее пользоваться формализмом быстрот, а не обычных скоростей.
Определение и свойства
Быстрота выражается формулой:
- <math>\theta=c\,\operatorname{Arth}\frac{v}{c}=\frac{c}{2}\ln\frac{1+\dfrac{v}{c}}{1-\dfrac{v}{c}},</math>
где
- <math>\theta</math> — быстрота,
- <math>v</math> — обычная скорость,
- <math>c</math> — скорость света,
- <math>\operatorname{Arth}x</math> — ареатангенс.
Ареатангенс (или гиперболический арктангенс) <math>\operatorname{Arth}x\equiv\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}</math> определён в области значений аргумента от −1 до +1; при <math>x\to\plusmn 1</math> функция <math>\operatorname{Arth}x\to\plusmn\infty.</math>
Таким образом, быстрота имеет размерность скорости и при изменении скорости от <math>-c</math> до <math>+c</math> меняется от <math>-\infty</math> до <math>+\infty</math>. Иногда вводят также параметр быстроты <math>\varphi\equiv\theta/c\equiv\operatorname{Arth}\frac{v}{c}</math> — безразмерную величину, которую иногда также называют быстротой (особенно при обычном в физике высоких энергий использовании системы единиц, где <math>c = 1</math>, которая значительно упрощает формулы; при таком определении быстрота становится безразмерной и совпадает с параметром быстроты).
В пределе малых скоростей быстрота примерно равна скорости:
- <math>\theta = v\left(1+\frac{1}{3}\left(\frac{v}{c}\right)^2 + ... \right)\approx v</math> при <math>v\ll c</math>.
В ультрарелятивистском случае <math>E \gg m</math> параметр быстроты можно выразить через энергию и продольный импульс <math>p_{\|} = p \cos \alpha</math> (где Шаблон:Math — угол вылета) следующим образом:
- <math>\varphi = \frac{1}{2}\ln\frac{E+cp_{\|}}{E-cp_{\|}}.</math>
При этом энергия и продольный импульс частицы могут быть выражены через массу частицы, поперечный импульс <math>p_{\perp} = p \sin \alpha</math> и параметр быстроты:
- <math>E = \sqrt{m^2 c^4 + p_{\perp}^2 c^2}\operatorname{ch}\varphi,</math>
- <math>p_{\|} = \sqrt{m^2 c^4 + p_{\perp}^2 c^2}\operatorname{sh}\varphi.</math>
Фактор Лоренца
Связанная с быстротой часто используемая величина — фа́ктор Ло́ренца, или ло́ренц-фа́ктор, названный по имени Г. А. Лоренца и определяемый как
- <math> \gamma \equiv \frac {1} {\sqrt{ 1 - v^2 / c^2}}.</math>
Лоренц-фактор равен гиперболическому косинусу параметра быстроты:
- <math>\gamma=\operatorname{ch}\varphi.</math>
С увеличением скорости от 0 до <math>c</math> лоренц-фактор <math>\gamma</math> увеличивается от 1 до <math>+\infty</math>.
Гиперболический синус параметра быстроты равен произведению лоренц-фактора и безразмерной скорости:
- <math>\beta\gamma=\operatorname{sh}\varphi.</math>
Аддитивность быстроты
Пусть в некоторой инерциальной системе отсчёта <math>K</math> две частицы движутся вдоль одной прямой, скорость одной из них равна <math>v_1</math>, а скорость второй относительно первой равна <math>v'_2</math> (скорости могут быть как положительными, так и отрицательными). Обозначим скорость второй частицы в системе <math>K</math> через <math>v_2</math>. При малых (по сравнению со скоростью света <math>c</math>) скоростях приближённо выполняется галилеевский закон сложения скоростей <math>v_2=v_1+v'_2</math>. Однако в релятивистском случае эта формула не действует, и скорость второй частицы необходимо вычислять с помощью лоренцевых преобразований. Релятивистский закон сложения скоростей
- <math>v_2=\frac{v_1+v'_2}{1+\dfrac{v_1v'_2}{c^2}}</math>
отличается от галилеевского знаменателем, который при малых скоростях близок к единице. Рассмотрим соответствующие скоростям быстроты <math>\theta \equiv c\,\mathrm{Arth}\frac{v}{c}</math>. Оказывается, что быстрота второй частицы в системе отсчёта <math>K</math> равна сумме быстрот:
- <math>\theta_2=\theta_1+\theta'_2.</math>
Удобство записи закона сложения скоростей в терминах быстрот привело к тому, что эта величина довольно широко используется в релятивистской кинематике, особенно в ускорительной физике. Однако следует помнить, что сложение быстрот совпадает по виду с галилеевским векторным сложением скоростей только при одномерном движении частиц.
Вводится также полная быстрота <math>\vartheta = c\cdot\frac{1}{2}\ln\frac{E+cp}{E-cp},</math> аддитивная при преобразованиях Лоренца и представляющая собой расстояние в пространстве скоростей. Быстрота является продольной составляющей полной быстроты.
Геометрический смысл быстроты
В пространстве Минковского быстрота представляет собой угол между касательной к мировой линии частицы и осью времени в базовой системе отсчёта. В формализме Минковского (<math>x_0 = ict</math>) этот угол является мнимым.
В формализме гиперболических комплексных чисел (известных также как двойные числа или паракомплексные числа — вариант комплексных чисел, в которых мнимая единица Шаблон:Math определяется соотношением Шаблон:Math2 = +1) точка в пространстве Минковского представляется паракомплексным числом Шаблон:Math, где Шаблон:Math и Шаблон:Math — действительные. При этом угол Шаблон:Math является быстротой частицы, движущейся равномерно из начала отсчёта и проходящей через точку Шаблон:Math, а Шаблон:Math — интервалом от начала отсчёта до точки Шаблон:Math (то есть собственным временем частицы, протекшим от прохождения через начало отсчёта до прохождения через Шаблон:Math). Лоренц-преобразование определяется умножением пространственно-временных координат, выраженных паракомплексными числами, на паракомплексное число с единичным модулем Шаблон:Math. В результате все интервалы сохраняются, а паракомплексная плоскость Минковского поворачивается на угол Шаблон:Math. Два последовательных лоренц-преобразования демонстрируют аддитивность быстроты, аналогичную аддитивности угла поворота:
Некоторые величины специальной теории относительности, выраженные через быстроту
Релятивистский импульс:
- <math>p=mc\cdot\operatorname{sh}\frac{\theta}{c}=mc\cdot\operatorname{sh}\varphi,</math>
где:
- Шаблон:Math — масса,
- Шаблон:Math — скорость света,
- Шаблон:Math — параметр быстроты (безразмерная быстрота).
Полная энергия:
- <math>E = mc^2\cdot\operatorname{ch}\frac{\theta}{c} = mc^2\cdot\operatorname{ch}\varphi.</math>
Скорость в СТО:
- <math>v=c\cdot\operatorname{th}\frac{\theta}{c}=c\cdot\operatorname{th}\varphi.</math> Безразмерная скорость <math>\beta = \operatorname{th}\varphi.</math>
Релятивистский эффект Доплера (если вектор скорости совпадает с направлением на источник):
- <math>1+z=e^{\theta/c}=e^\varphi,</math>
где <math>z</math> — параметр красного смещения.
См. также
Литература
Примечания
