Русская Википедия:Вариационный принцип Пфаффа

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Вариационный принцип Пфаффа — принцип, согласно которому вариация интеграла линейной функции от производных по времени должна быть равна нулю. Имеет важное значение в теории динамических систем.

Рассмотрим <math>2m</math> функций <math>X_{j}(x_{1}, ..., x_{2m})</math> от <math>2m</math> переменных <math>x_{1}, ..., x_{2m}</math> и функцию <math>Z(x_{1}, ..., x_{2m})</math> от тех же переменных, <math>\dot x_{j}</math> означает производную по времени переменной <math>x_{j}</math>. Вариационный принцип Пфаффа требует, чтобы вариация интеграла от линейной функции от производных <math>\dot x_{j}</math> с коэффициентами <math>X_{j}, Z</math> была равна нулю:Шаблон:Sfn

<math>\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}} \left [ \sum_{j=1}^{2m} X_{j}(x_{1}, ..., x_{2m}) \dot x_{j} + Z(x_{1}, ..., x_{2m}) \right ] dt = 0</math>

Для того, чтобы вариационный принцип Пфаффа выполнялся, необходимо и достаточно, чтобы функции <math>X_{j}, Z</math> удовлетворяли системе обыкновенных дифференциальных уравнений порядка <math>2m</math> (уравнения Пфаффа):Шаблон:Sfn

<math> \sum_{j=1}^{2m} \left ( \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{j}} - \frac{\partial X_{j}}{\partial x_{i}} \right ) -

\frac{\partial Z}{\partial x_{i}} = 0, (i=1, ..., 2m) </math>

Уравнения Гамильтона могут быть получены, исходя из частного случая вариационного принципа Пфаффа:Шаблон:Sfn

<math>\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}} \left [ \sum_{j=1}^{m} P_{j} \dot Q_{j} - H \right ] dt = 0</math>

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Изолированная статья

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Вариационный_принцип_Пфаффа&oldid=9342910