Русская Википедия:Вариация Фреше
Вариация Фреше — одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, которую можно рассматривать как многомерный аналог вариации функции одного переменного.
Определение
Вариация Фреше определяется как:
- <math>F(f,\;D_n)\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup_\varepsilon\,\sup_\Pi\left|\sum^{l_1-1}_{r_1=0}\sum^{l_2-1}_{r_2=0}\ldots\sum^{l_n-1}_{r_n=0}\varepsilon^{(r_1)}_n\varepsilon^{(r_2)}_n\ldots\varepsilon^{(r_n)}_n\times\right.</math>
- <math>\times\Delta_{h^{(r_1)}_1 h^{(r_2)}_2\ldots h^{(r_n)}_n}(f;\;x^{(r_1)}_1,\;x^{(r_2)}_2,\;\ldots,\;x^{(r_n)}_n)\Bigg|,</math>
где <math>f(x)=f(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)</math> — действительнозначная функция, заданная на <math>n</math>-мерном параллелепипеде <math>D_n</math>
- <math>D_n=[a_1,\;b_1]\times[a_2,\;b_2]\times\ldots\times[a_n,\;b_n];</math>
<math>\Pi</math> — произвольное разбиение параллелепипеда <math>D_n</math> гиперплоскостями <math>x_s=x^{(r_s)}_s</math> такими, что
- <math>x^{(0)}_s=a_s</math>, <math>x^{(l_s)}_s=b_s</math> и <math>x^{(r_s)}_s<x^{(r_s+1)}_s</math>,
- где <math>r_s=0,\;1,\;2,\;\ldots,\;l_s</math>, <math>s=1,\;2,\;\ldots,\;n</math>.
<math>h^{(r_s)}_s=x^{(r_s+1)}_s-x^{(r_s)}_s</math> — шаг разбиения;
<math>\Delta_{h_k}(f,\;x)=f(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_k+h_k,\;\ldots,\;x_n)-f(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_k,\;\ldots,\;x_n)</math> (<math>k=1,\;2,\;\ldots,\;n</math>) — приращение функции по <math>x_k</math>-ой координате;
<math>\Delta_{h_1h_2\ldots h_k}(f;\;x)=\Delta_{h_k}(\Delta_{h_1h_2\ldots h_{k-1}};\;x)</math> — обобщённое приращение функции по первым <math>k</math> координатам (<math>k=2,\;3,\;\ldots,\;n</math>);
<math>\varepsilon^{(r_k)}_k=\pm1</math> (<math>k=1,\;2,\;\ldots,\;n</math>) произвольным образом.
Применение
Если <math>F(f;\;D_n)<\infty</math>, то говорят, что функция <math>f(x)</math> имеет ограниченную (конечную) вариацию Фреше на <math>D_n</math>. Класс всех таких функций обозначается через <math>F(D_n)</math>.
При <math>n=2</math> этот класс был введён М. Фреше[1] в связи с исследованием общего вида билинейного непрерывного функционала <math>U(\varphi_1,\varphi_2)</math> в пространстве непрерывных на квадрате <math>Q_2=[a,\;b]\times[a,\;b]</math> функций вида <math>\varphi_1(x_1)\varphi_2(x_2)</math>. Он доказал, что всякий такой функционал представляется в виде
- <math>U(\varphi_1,\;\varphi_2)=\int\limits_a^b\int\limits_a^b\varphi_1(x_1)\varphi_2(x_2)\,d_{x_l}d_{x_2}u(x_1,\;x_2),</math>
где <math>u(x_1,\;x_2)\in F(Q_2)</math>, <math>u(a,\;x_2)\equiv u(x_1,\;b)\equiv0</math>.
Позднее было показано, что для <math>2\pi</math>-периодических функций класса <math>f(Q_n)</math> (<math>Q_n=[0,\;2\pi]\times\ldots\times[0,\;2\pi]</math>) справедливы аналоги многих классических признаков сходимости рядов Фурье[2]. Так, например, если <math>f(x)\in F(Q_n)</math>, <math>n=2,\;3,\;\ldots</math>, то прямоугольные частичные суммы ряда Фурье функции <math>f(x)</math> в каждой точке <math>x=(x_1,\;x_2,\ldots,\;x_n)</math> сходятся к числу
- <math>\frac{1}{2^n}\sum f(x_1\pm0,\;x_2\pm0,\;\ldots,\;x_n\pm0),</math>
где суммирование распространяется на все <math>2^n</math> возможных комбинаций знаков <math>\pm</math>. При этом, если функция непрерывна, то сходимость равномерная. Это аналог признака Жордана.
Литература
См. также
- Вариация функции
- Вариация Арцела
- Вариация Витали
- Вариация Пъерпонта
- Плоская вариация Тонелли
- Вариация Харди
Примечания
