Русская Википедия:Вариация однолистной функции

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Вариация однолистной функции — понятие теории однолистных функций.

Для определения вариации рассмотрим однолистную функцию <math>f(z)</math> комплексного переменного <math>z</math> в некоторой области <math>D</math> плоскости и зависящее от вещественного параметра <math>\lambda</math>, где <math>0\leqslant\lambda\leqslant\Lambda,\;\Lambda>0</math>, семейство <math>F(z,\;\lambda)</math> функций, также однолистных в <math>D</math> при каждом фиксированном <math>\lambda\in[0,\;\Lambda]</math>. Составим разность <math>F(z,\;\lambda)-F(z,\;0)\equiv\Phi(z,\;\lambda)</math>, считая при этом, что <math>F(z,\;0)=f(z)</math>.

Тогда вариацией <math>n</math>-го порядка, или <math>n</math>-й вариацией (<math>n=1,\;2,\;\ldots</math>) однолистной функции <math>f(z)</math> по семейству <math>F(z,\;\lambda)</math> называется коэффициент <math>q_n(z)</math> при <math>\lambda^n</math> в разложении <math>\Phi(z,\;\lambda)</math> по параметру <math>\lambda</math> при условии, что остаточный член

<math>\varphi_n(z,\;\lambda)=\Phi(z,\;\lambda)-q_1(z)\lambda-q_2(z)\lambda^2-\ldots-q_n(z)\lambda^n</math>

имеет порядок малости более высокий, чем <math>\lambda^n</math>, равномерно относительно <math>z</math> или в области <math>D</math>, или внутри <math>D</math>, или в замыкании <math>D</math>. Выбор одного из указанных дополнительных условий обычно предопределяется задачей, в исследовании которой используются вариационные методы, связанные с вариацией однолистной функции.

Впервые вычисления и применения вариаций первого порядка однолистных функций были проведены Ж. Адамаром, а позднее М. А. Лаврентьевым.

Получение вариаций в некотором классе однолистных функций может представлять весьма сложную самостоятельную задачу, что связано с нелинейностью семейств этих функций. Задача решена только для некоторых классов функции в односвязных и многосвязных областях.

Литература

• Шаблон:Книга