Русская Википедия:Вариация отображения

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Вариация отображения — числовая характеристика отображения, связанная с его дифференциальными свойствами.

Понятие «вариация отображения» было определено С. Банахом.

Двухмерный случай

Рассмотрим определение вариации отображения для двухмерного случая.

Пусть дано отображение

<math>\alpha\colon x=f(u,\;v),\;y=\varphi(u,\;v),</math>

где <math>f(u,\;v)</math> и <math>\varphi(u,\;v)</math> — непрерывные на квадрате <math>D_0=[0,\;1]\times[0,\;1]</math> функции. Говорят, что отображение <math>\alpha</math> имеет ограниченную вариацию, если существует число <math>M>0</math> такое, что для любой последовательности неперекрывающихся квадратов <math>D^i\subset D_0\;(i=1,\;2,\;\ldots)</math> со сторонами, параллельными осям координат <math>u,\;v</math>, справедливо неравенство

<math>\sum_i\mathrm{mes}\,D^i_{xy}\leqslant M,</math>

где <math>D_{xy}</math> — образ множества <math>D^i\subset D_0</math> при отображении <math>\alpha</math>,

<math>\mathrm{mes}\,D</math> — плоская мера Лебега множества <math>D</math>.

Численное значение вариации отображения <math>V(\alpha)</math> может быть определено различными способами. Например, если отображение <math>\alpha</math> имеет ограниченную вариацию, то его вариация <math>V(\alpha)</math> может быть определена по формуле:

<math>V(\alpha)=\iint\limits_{-\infty}^{\quad+\infty}N(s,\;t)\,ds\,dt,</math>

где <math>N(s,\;t)</math> — число решений системы <math>f(u,\;v)=s,\;\varphi(u,\;v)=t</math>, или так называемая индикатриса Банаха отображения <math>\alpha</math>.

Было показано, что если отображение <math>\alpha</math> имеет ограниченную вариацию, то почти всюду на <math>D_0</math> существует обобщённый якобиан <math>J(P)</math>, где <math>P\subset D_0</math>, который интегрируем на <math>D_0</math>. При этом

<math>J(P)\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}\lim_{\mathrm{mes}\,K\to 0}\frac{\mathrm{mes}\,K_{xy}}{\mathrm{mes}\,K},</math>

где <math>K\subset D_0</math> — квадрат, содержащий точку <math>P\subset D_0</math>, стороны которого параллельны осям <math>u,\;v</math>;

<math>K_{xy}</math> — образ множества <math>K</math>;

<math>\mathrm{mes}\,K</math> — плоская мера Лебега множества <math>K</math>.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга.