Русская Википедия:Вейвлеты Добеши
Вейвлеты Добеши (Шаблон:Lang-en) — семейство ортогональных вейвлетов с компактным носителем, вычисляемым итерационным путём. Названы в честь математика из США, первой построившей данное семейство, Ингрид Добеши.
Построение вейвлетов Добеши
Для построения вейвлетов воспользуемся уравнением растяжения и вейвлет-уравнением:
- <math> \varphi(t) = \sqrt{2}\sum_k h_k\varphi(2t - k),</math>
- <math> \psi(t) = \sqrt{2}\sum_k g_k\varphi(2t - k).</math>
Компактность носителя функций <math>\varphi</math> и <math>\psi</math> может быть достигнута, если будет выбрано конечное число <math>h_n \ne 0</math> таким образом, чтобы была достигнута ортогональность и гладкость вейвлета, либо чтобы выполнялось условие моментов. Для области Фурье условие ортогональности и гладкости выглядит следующим образом:
- <math>|m_0(\omega)|^2 + |m_0(\omega + \pi)|^2 = 1,</math>
где <math>|m_0(\omega)| = \sum_n\frac{h_n e^{-in\omega}}{\sqrt{2}}</math> — тригонометрический полином, при условии моментов
- <math>\left.\frac{d^l\psi{\omega}}{d\omega^l}\right|_{\omega=0} = 0</math>
для <math>l = 0,\ 1,\ \ldots,\ N - 1</math> принимающий вид
- <math>m_0(\omega) \propto \left( \frac{1 + e^{i\omega}}{2} \right)^N.</math>
Если положить, что <math>M_0(\omega) = |m_0(\omega)|^2</math> — полином по <math>\cos\omega</math>, то условие нулевых моментов даёт <math>M_0(\omega) = \cos^{2N}\tfrac{\omega}{2} \cdot L(\omega)</math>, где <math>L(\omega) = P\sin^2\tfrac{\omega}{2}</math> — полином по <math>\cos\omega</math>.
Для поиска коэффициентов <math>h_n</math> необходимо получить <math>m_0</math>, выделив форму полинома <math>P</math>. Из условия ортогональности и условия нулевых моментов следует, что
- <math>P(y) = (1 - y)^{-N}(1 - y^N P(1 - y)).</math>
Разложив <math>(1 - y)^{-N}</math> до порядка <math>N - 1</math>, получим явный вид полинома:
- <math>P(y) = (1 - y)^{-N}(1 - y^N P(1 - y)) = \sum_{k=0}^{N-1} \binom{N + k - 1}{k} y^k.</math>
Путём спектрального разложения на множители можно извлечь корни <math>m_0</math> из <math>P</math>:
- <math>m_0(\omega) = \mathrm{const} \left(\frac{z + 1}{2}\right)^N \prod_{j=1}^{N-1}(z - z_j).</math>
Искомые коэффициенты вейвлета <math>h_j/\sqrt{2}</math> будут являться коэффициентами при <math>z^j</math> в обратном порядке.
Также для построения вейвлетов данного типа используется каскадный алгоритм. Он позволяет поточечно строить масштабирующую функцию <math>\varphi</math> по известным коэффициентам <math>h_n</math>. На каждом шаге алгоритма функция <math>\varphi</math> уточняется по оси <math>t</math> в 2 раза. Далее при необходимости применяется сглаживание <math>\varphi</math>. После этого, зная <math>\varphi</math> и <math>h_n</math>, находится функция самого вейвлета <math>\psi</math>.
Ортогональные нормированные коэффициенты Добеши низких порядков
| D2 (Хаар) | D4 | D6 | D8 | D10 | D12 | D14 | D16 | D18 | D20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.6830127 | 0.47046721 | 0.32580343 | 0.22641898 | 0.15774243 | 0.11009943 | 0.07695562 | 0.05385035 | 0.03771716 |
| 1 | 1.1830127 | 1.14111692 | 1.01094572 | 0.85394354 | 0.69950381 | 0.56079128 | 0.44246725 | 0.34483430 | 0.26612218 |
| 0.3169873 | 0.650365 | 0.8922014 | 1.02432694 | 1.06226376 | 1.03114849 | 0.95548615 | 0.85534906 | 0.74557507 | |
| -0.1830127 | -0.19093442 | -0.03957503 | 0.19576696 | 0.44583132 | 0.66437248 | 0.82781653 | 0.92954571 | 0.97362811 | |
| -0.12083221 | -0.26450717 | -0.34265671 | -0.31998660 | -0.20351382 | -0.02238574 | 0.18836955 | 0.39763774 | ||
| 0.0498175 | 0.0436163 | -0.04560113 | -0.18351806 | -0.31683501 | -0.40165863 | -0.41475176 | -0.35333620 | ||
| 0.0465036 | 0.10970265 | 0.13788809 | 0.1008467 | 6.68194092e-4 | -0.13695355 | -0.27710988 | |||
| -0.01498699 | -0.00882680 | 0.03892321 | 0.11400345 | 0.18207636 | 0.21006834 | 0.18012745 | |||
| -0.01779187 | -0.04466375 | -0.05378245 | -0.02456390 | 0.043452675 | 0.13160299 | ||||
| 4.71742793e-3 | 7.83251152e-4 | -0.02343994 | -0.06235021 | -0.09564726 | -0.10096657 | ||||
| 6.75606236e-3 | 0.01774979 | 0.01977216 | 3.54892813e-4 | -0.04165925 | |||||
| -1.52353381e-3 | 6.07514995e-4 | 0.01236884 | 0.03162417 | 0.04696981 | |||||
| -2.54790472e-3 | -6.88771926e-3 | -6.67962023e-3 | 5.10043697e-3 | ||||||
| 5.00226853e-4 | -5.54004549e-4 | -6.05496058e-3 | -0.01517900 | ||||||
| 9.55229711e-4 | 2.61296728e-3 | 1.97332536e-3 | |||||||
| -1.66137261e-4 | 3.25814671e-4 | 2.81768659e-3 | |||||||
| -3.56329759e-4 | -9.69947840e-4 | ||||||||
| 5.5645514e-5 | -1.64709006e-4 | ||||||||
| 1.32354367e-4 | |||||||||
| -1.875841e-5 |
См. также
Ссылки
- Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets, SIAM 1992.
- Основы теории вейвлетов с пакетом Mathematica Wavelet ExplorerШаблон:Недоступная ссылка
- Всплески Ингрид Добеши
