Русская Википедия:Векторная решётка

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Ве́кторная решётка (<math>K</math>-линеал, пространство Риса, в ранних русскоязычных источниках — также линейная структура) — вещественное или комплексное векторное пространство, наделённое структурой алгебраической решётки. Впервые рассмотрена Рисом в 1928 году, с использованием конструкций на её основе получены важные результаты в функциональном анализе.

Векторную решётку можно определить аксиоматически на векторном пространстве <math>X</math> с произвольным выделенным подклассом элементов <math>X_+ \subset X</math>, называемых положительными элементами (<math>0 \notin X_+</math>), посредством введения отношения частичного порядка следующим образом: <math>x > y \Leftrightarrow x-y \in X_+ </math> (в этом случае <math>x \in X_+ \Rightarrow x > 0</math>), если при этом выполнены следующие условия:

• если <math>x>0</math>, то <math>x \neq 0</math>,
• если <math>x>0</math> и <math>y>0</math>, то <math>x+y>0</math>
• для любых двух элементов <math>x, y \in X</math> существует их супремум <math>x \vee y</math>,
• если <math>x>0</math> и для элемента числового поля <math>\lambda</math> выполнено <math>\lambda > 0</math>, то <math>\lambda x > 0</math>Шаблон:Sfn.

Всякая векторная решётка дистрибутивнаШаблон:Sfn.

Важное свойство в векторных решётках — представимость любого элемента <math>x \in X</math> в виде разности двух положительных элементов <math>x = x_+ - x_-</math>, где <math>x_+ = x \vee 0</math> называется положительной частью элемента <math>x</math>, а <math>x_- = (-x) \vee 0</math> — его отрицательной частью. В этих терминах вводится также понятие модуля элемента следующим образом: <math>|x| = x_+ + x_-</math>, причём всегда выполнено <math>x \leqslant x_+ \leqslant |x|</math>. Для ограниченности множества <math>U \in X</math> в векторной решётке необходима и достаточна ограниченность множества модулей его элементов <math>U^* = \{|x|, \, x\in U \}</math>Шаблон:Sfn.

Особый интерес в функциональном анализе представляют векторные решётки с дополнительной пространственной структурой, такие как банаховы решёткиШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга