Русская Википедия:Векторное пространство

REDIRECT Линейное пространство

Ве́кторное простра́нство (лине́йное пространство) — математическая структура, представляющая собой набор элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр^[1]. Эти операции подчинены восьми аксиомамШаблон:Переход. Скаляры могут быть элементами вещественного, комплексного или любого другого поля чисел. Частным случаем подобного пространства является обычное трёхмерное евклидово пространство, векторы которого используются, к примеру, для представления физических сил. При этом вектор как элемент векторного пространства не обязательно должен быть задан в виде направленного отрезка. Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природыШаблон:Sfn.

Векторные пространства являются предметом изучения линейной алгебры. Одна из главных характеристик векторного пространства — его размерность.Шаблон:Переход Размерность представляет собой максимальное число линейно независимых элементов пространства, то есть, прибегая к грубой геометрической интерпретации, число направлений, которые невозможно выразить друг через друга посредством только операций сложения и умножения на скаляр. Векторное пространство можно наделить дополнительными структурами, например, нормой или скалярным произведением. Подобные пространства естественным образом появляются в математическом анализе, преимущественно в виде бесконечномерных en (Function space), где в качестве векторов выступают функции. Многие проблемы анализа требуют выяснить, сходится ли последовательность векторов к данному вектору. Рассмотрение таких вопросов возможно в векторных пространствах с дополнительной структурой, в большинстве случаев — подходящей топологией, что позволяет определить понятия близости и непрерывности. Такие топологические векторные пространства, в частности, банаховы и гильбертовы, допускают более глубокое изучение.

Первые труды, предвосхитившие введение понятия векторного пространства, относятся к XVII веку. Именно тогда своё развитие получили аналитическая геометрия, учения о матрицах, системах линейных уравнений, евклидовых векторах.

Определение

Линейное, или векторное, пространство <math>V(F)</math> над полем <math>F</math> — это упорядоченная четвёрка <math>(V, F, +, \cdot)</math>, где

<math>V</math> — непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами.
<math>F</math> — поле, элементы которого называются скалярами.
Определена операция сложения векторов <math>V \times V \to V</math>, сопоставляющая каждой паре элементов <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}</math> множества <math>V</math> единственный элемент множества <math>V</math>, называемый их суммой и обозначаемый <math>\mathbf{x} + \mathbf{y}</math>.
Определена операция умножения векторов на скаляры <math>F \times V \to V</math>, сопоставляющая каждому элементу <math>\lambda</math> поля <math>F</math> и каждому элементу <math>\mathbf{x}</math> множества <math>V</math> единственный элемент множества <math>V</math>, обозначаемый <math>\lambda \cdot \mathbf{x}</math> или <math>\lambda \mathbf{x}</math>.

Заданные операции должны удовлетворять следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:

<math>\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}</math> для любых <math>\mathbf{x}, \mathbf{y} \in V</math> (коммутативность сложения);
<math>\mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z}) = (\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z}</math> для любых <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in V</math> (ассоциативность сложения);
существует такой элемент <math>\mathbf{0} \in V</math>, что <math>\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{x} = \mathbf{x}</math> для любого <math>\mathbf{x} \in V</math> (существование нейтрального элемента относительно сложения), называемый нулевым вектором, или просто нулём, пространства <math>V</math>;
для любого <math>\mathbf{x} \in V</math> существует такой элемент <math>-\mathbf{x} \in V</math>, что <math>\mathbf{x} + (-\mathbf{x}) = \mathbf{0}</math>, называемый вектором, противоположным вектору <math>\mathbf{x}</math>;
<math>\alpha(\beta\mathbf{x}) = (\alpha\beta)\mathbf{x}</math> (ассоциативность умножения на скаляр);
<math>1 \cdot \mathbf{x} = \mathbf{x}</math> (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля <math>F</math> сохраняет вектор).
<math>(\alpha + \beta)\mathbf{x} = \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{x}</math> (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров);
<math>\alpha(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \mathbf{x} + \alpha \mathbf{y}</math> (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов).

Таким образом, операция сложения задаёт на множестве <math>V</math> структуру (аддитивной) абелевой группы.

Векторные пространства, заданные на одном и том же множестве элементов, но над различными полями, будут различными векторными пространствами (например, множество пар действительных чисел <math>\mathbb{R}^2</math> может быть двумерным векторным пространством над полем действительных чисел либо одномерным — над полем комплексных чисел).

Простейшие свойства

Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
Нейтральный элемент <math>\mathbf{0} \in V</math> является единственным, что вытекает из групповых свойств.
<math> 0\cdot\mathbf{x} = \mathbf{0} </math> для любого <math>\mathbf{x} \in V</math>.
Для любого <math>\mathbf{x} \in V</math> противоположный элемент <math>-\mathbf{x} \in V</math> является единственным, что вытекает из групповых свойств.
<math>1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x}</math> для любого <math>\mathbf{x} \in V</math>.
<math>(-\alpha)\cdot\mathbf{x} = \alpha\cdot(-\mathbf{x}) = -(\alpha\mathbf{x})</math> для любых <math>\alpha \in F</math> и <math>\mathbf{x} \in V</math>.
<math> \alpha\cdot \mathbf{0} = \mathbf{0}</math> для любого <math>\alpha \in F</math>.

Связанные определения и свойства

Подпространство

Алгебраическое определение: Линейное подпространство, или векторное подпространство, ― непустое подмножество <math>K</math> линейного пространства <math>V</math> такое, что <math>K</math> само является линейным пространством по отношению к определённым в <math>V</math> действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как <math>\mathrm{Lat}(V)</math>. Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

для всякого вектора <math>\mathbf{x}\in K</math> вектор <math>\alpha\mathbf{x}</math> также принадлежал <math>K</math> при любом <math>\alpha\in F</math>;
для всяких векторов <math>\mathbf{x}, \mathbf{y} \in K</math> вектор <math>\mathbf{x}+\mathbf{y}</math> также принадлежал <math>K</math>.

Последние два утверждения эквивалентны следующему:

для всяких векторов <math>\mathbf{x}, \mathbf{y} \in K</math> вектор <math>\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y}</math> также принадлежал <math>K</math> для любых <math>\alpha, \beta \in F</math>.

В частности, векторное пространство, состоящее из одного лишь нулевого вектора, является подпространством любого пространства; любое пространство является подпространством самого себя. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными, или нетривиальными.

Свойства подпространств

Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;
Сумма подпространств <math>\{K_i\mid i\in1\ldots N\}</math> определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов <math>K_i</math>:
<math>\sum_{i=1}^N{K_i}:=\{\mathbf x_1+\mathbf x_2+\ldots+\mathbf x_N\mid\mathbf x_i\in K_i\quad(i\in1\ldots N)\}</math>.
- Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство.

Линейные комбинации

Формальное выражение вида

<math>\alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n</math>

называетсяШаблон:Sfn линейной комбинацией элементов <math>\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n \in V</math> с коэффициентами <math>\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in F</math>.

В действительности данное определение (и приводимые ниже) приложимо не только к комбинациям векторов, но и к комбинациям любых других объектов, для которых подобные суммы вообще имеют смысл (например, к комбинациям точек аффинного пространства).

Линейная комбинация называется:

нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
барицентрической, если сумма её коэффициентов равна 1Шаблон:Sfn,
выпуклой, если сумма её коэффициентов равна 1 и все коэффициенты неотрицательны,
сбалансированной, если сумма её коэффициентов равна 0.

Базис и размерность

Шаблон:Основная статья Векторы <math>\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n</math> называютсяШаблон:Sfn линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, значение которой равно нулю; то есть

<math>\alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n = \mathbf{0}</math>

при некоторых ненулевых коэффициентах <math>\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in F</math> (то есть если хотя бы один из <math>\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n </math> не равен нулю).

В противном случае эти векторы называются линейно независимыми.

Данное определение допускает следующее обобщение: бесконечное множество векторов из <math>V</math> называется линейно зависимым, если линейно зависимо некоторое конечное его подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.

Можно показатьШаблон:Sfn, что число элементов (мощность) максимального линейно независимого множества элементов векторного пространства не зависит от выбора этого множества. Данное число называется рангом, или размерностью, пространства, а само это множество — базисом (базисом Га́меля, или линейным базисом). Элементы базиса именуют базисными векторами. Размерность пространства чаще всего обозначается символом <math>{\rm dim}</math>.

Таким образом, размерность векторного пространства является либо неотрицательным целым числом (в частности, равным нулю, если пространство состоит из одного лишь нулевого вектора), либо бесконечностью (точнее, мощностью бесконечного множества). В первом случае векторное пространство называется конечномерным, а во втором — бесконечномерным (например, бесконечномерным является пространство непрерывных функций). Традиционно изучение конечномерных векторных пространств и их отображений относится к линейной алгебре, а изучение бесконечномерных векторных пространств — к функциональному анализу. Во втором случае существенную роль играет вопрос о разложимости данного элемента по заданной бесконечной системе функций, то есть о сходимости соответствующих бесконечных сумм, для чего бесконечномерное векторное пространство рассматривается вместе с дополнительной структурой, позволяющей определять сходимость, например, с метрикой или топологией.

Свойства базиса:

Любые <math>n</math> линейно независимых элементов <math>n</math>-мерного пространства образуют базис этого пространства.

Любой вектор <math>\mathbf{x} \in V</math> можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:
<math>\mathbf{x} = \alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n</math>.

Линейная оболочка

Шаблон:Falseredirect Линейная оболочка <math>\mathcal V(X)</math> подмножества <math>X</math> линейного пространства <math>V</math> — пересечение всех подпространств <math>V</math>, содержащих <math>X</math>.

Линейная оболочка является подпространством <math>V</math>.

Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным <math>X</math>. Говорят также, что линейная оболочка <math>\mathcal V(X)</math> — пространство, натянутое на множество <math>X</math>.

Линейная оболочка <math>\mathcal V(X)</math> состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из <math>X</math>. В частности, если <math>X</math> — конечное множество, то <math>\mathcal V(X)</math> состоит из всех линейных комбинаций элементов <math>X</math>. Таким образом, нулевой вектор всегда принадлежит линейной оболочке.

Если <math>X</math> — линейно независимое множество, то оно является базисом <math>\mathcal V(X)</math> и тем самым определяет его размерность.

Изоморфизм

Два линейных пространства <math>V'(F)</math> и <math>V(F)</math> называются изоморфными, если между векторами <math>x' \in V'</math> и <math>x \in V</math> можно установить взаимно однозначное соответствие таким образом, что выполняются условия:

если вектору <math>\mathbf{x}' \in V'</math> соответствует вектор <math>\mathbf{x} \in V</math>, а вектору <math>\mathbf{y}' \in V'</math> соответствует вектор <math>\mathbf{y} \in V</math>, то вектору <math>\mathbf{x}' + \mathbf{y}' \in V'</math> соответствует вектор <math>\mathbf{x} + \mathbf{y} \in V</math>
если вектору <math>\mathbf{x}' \in V'</math> соответствует вектор <math>\mathbf{x} \in V</math>, и <math>\lambda</math> - элемент поля <math>F</math>, то вектору <math>\lambda \mathbf{x}' \in V'</math> соответствует вектор <math>\lambda \mathbf{x} \in V</math>^[2]

Примеры

Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.
Пространство всех функций <math>X\to F</math> с конечным носителем образует векторное пространство размерности, равной мощности <math>X</math>.
Поле действительных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.
Любое поле является одномерным пространством над собой.
Пространства матриц и тензоров образуют линейное пространство.

Дополнительные структуры

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Векторы и матрицы

↑ Не следует путать понятия «умножение на скаляр» и «скалярное произведение».
↑ Шилов Г. Е. Введение в теорию линейных пространств. — М., Л., Гостехтеориздат, 1952. — с. 70

[1] Не следует путать понятия «умножение на скаляр» и «скалярное произведение».

[2] Шилов Г. Е. Введение в теорию линейных пространств. — М., Л., Гостехтеориздат, 1952. — с. 70

[1]

[2]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.