Русская Википедия:Векторный анализ
Ве́кторный ана́лиз — раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы, как правило в двух- или трёхмерном пространстве.
Сфера применения
Объектами приложения векторного анализа являются:
- Векторные поля — отображения одного векторного пространства в другое.
- Скалярные поля — функции на векторном пространстве.
Наибольшее применение векторный анализ находит в физике и инженерии. Основные преимущества векторных методов перед традиционными координатными:
- Компактность. Одно векторное уравнение объединяет несколько координатных, и его исследование чаще всего можно проводить непосредственно, не заменяя векторы на их координатную запись.
- Инвариантность. Векторное уравнение не зависит от системы координат и без труда переводится в координатную запись в любой удобной системе координат.
- Наглядность. Дифференциальные операторы векторного анализа и связывающие их соотношения обычно имеют простое и наглядное физическое истолкование.
Векторные операторы
Наиболее часто применяемые векторные операторы:
- Ротор и дивергенция — для векторных полей.
- Градиент — для скалярных полей.
- Лапласиан — для скалярных и векторных полей.
| Оператор | Обозначение | Описание | Тип |
|---|---|---|---|
| Градиент | <math> \operatorname{grad}(f) = \nabla f </math> | Определяет направление и скорость скорейшего возрастания скалярного поля. | Скаляр <math>\Rightarrow </math> вектор |
| Дивергенция | <math> \operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F} </math> | Характеризует расходимость, источники и стоки векторного поля. | Вектор <math>\Rightarrow </math> скаляр |
| Ротор | <math> \operatorname{rot}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F} </math> | Характеризует вихревую составляющую векторного поля. | Вектор <math>\Rightarrow </math> вектор |
| Лапласиан | <math> \Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f </math> | Сочетание дивергенции с градиентом. | Скаляр <math>\Rightarrow </math> скаляр |
| Лапласиан векторный | <math>{\displaystyle \Delta \mathbf {A} =
{\Delta }A_{x}\mathbf {i} + {\Delta }A_{y}\mathbf {j} + {\Delta }A_{z}\mathbf {k} } </math>[1] |
Вектор <math>\Rightarrow </math> вектор |
<math> \operatorname{grad}(f)= \nabla f = \frac{\partial f }{\partial x}\mathbf i+ \frac{\partial f }{\partial y}\mathbf j+ \frac{\partial f }{\partial z}\mathbf k </math>
<math> \operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z} </math>
<math> \operatorname{rot}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}= \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}= \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf i+ \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf j+ \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf k </math>
<math> \Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} </math>
<math>\Delta \mathbf{A} = {\Delta }A_{x}\mathbf {i} + {\Delta }A_{y}\mathbf {j} + {\Delta }A_{z}\mathbf {k} =
\biggl(\frac{\partial^2 A_x}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 A_x}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2}\Biggr)\mathbf i+ \biggl(\frac{\partial^2 A_y}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 A_y}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2}\Biggr)\mathbf j+ \biggl(\frac{\partial^2 A_z}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 A_z}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 A_z}{\partial z^2}\Biggr)\mathbf k </math>
Дифференциальные операции второго порядка
| Скалярное поле <math>f=f(x,y,z)</math> | Векторное поле <math>\mathbf{A} =
A_{x}\mathbf {i} + A_{y}\mathbf {j} + A_{z}\mathbf {k} </math> | ||
|---|---|---|---|
| <math> \operatorname{grad} </math> | <math> \operatorname{div} </math> | <math> \operatorname{rot} </math> | |
| <math> \operatorname{grad} </math> | <math> \operatorname{grad} \operatorname{div} (\mathbf{A})=\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf{A}) </math> | ||
| <math> \operatorname{div} </math> | <math> \operatorname{div}\operatorname{grad}(f)=\nabla \cdot \nabla f=\nabla^2 f=\Delta f </math> | <math> \operatorname{div}\operatorname{rot}(\mathbf{A})=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A})=0 </math> | |
| <math> \operatorname{rot} </math> | <math> \operatorname{rot}\operatorname{grad}(f)=\nabla \times (\nabla f)=0 </math> | <math> \operatorname{rot}\operatorname{rot}(\mathbf{A})=\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})=
\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf{A}) - (\nabla \cdot \nabla) \cdot \mathbf{A}= \operatorname{grad} \operatorname{div} \mathbf{A} - \Delta \mathbf{A} </math> | |
Указанные операции называются дифференциальными операциями второго порядка по той причине, что они сводятся к двукратному дифференцированию скалярных или векторных функций (формально: в их символической записи оператор Гамильтона <math>\Delta </math> встречается два раза).[2]
Основные соотношения
Приведём сводку практически важных теорем многомерного анализа в векторной записи.
| Теорема | Запись | Пояснения |
|---|---|---|
| Теорема о градиенте | <math> \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) = \int_L \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r}. </math> | Криволинейный интеграл от градиента скалярного поля равен разности значений поля в граничных точках кривой. |
| Теорема Грина | <math>\oint\limits_{C} L\, dx + M\, dy = \iint\limits_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA</math> | Криволинейный интеграл по замкнутому плоскому контуру может быть преобразован в двойной интеграл по области, ограниченной контуром. |
| Теорема Стокса | <math> \int\limits_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint\limits_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, </math> | Поверхностный интеграл от ротора векторного поля равен циркуляции по границе этой поверхности. |
| Теорема Остроградского — Гаусса | <math>\iiint\limits_V\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=\iint\limits_{\partial V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S},</math> | Объёмный интеграл от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля через граничную поверхность. |
Исторический очерк
Первым векторы ввёл У. Гамильтон в связи с открытием в 1843 г. кватернионов (как их трёхмерную мнимую часть). В двух монографиях (1853, 1866 посмертно) Гамильтон ввёл понятие вектора и вектор-функции, описал дифференциальный оператор <math>\nabla</math> («набла», 1846) и многие другие понятия векторного анализа. Он определил в качестве операций над новыми объектами скалярное и векторное произведения, которые для кватернионов получались чисто алгебраически (при обычном их умножении). Гамильтон ввёл также понятия коллинеарности и компланарности векторов, ориентации векторной тройки и др.
Компактность и инвариантность векторной символики, использованной в первых трудах Максвелла (1873), заинтересовали физиков; вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному исчислению современный вид. Примечательно, что уже в работах Максвелла кватернионная терминология почти отсутствует, фактически заменённая на чисто векторную. Термин «векторный анализ» предложил Гиббс (1879) в своём курсе лекций.
См. также
- Вектор-функция
- Векторное исчисление
- Градиент
- Дивергенция
- Дифференциальная геометрия
- Оператор набла
- Поверхность
- Ротор
- Формулы векторного анализа
- Гельмгольциан
- Оператор Даламбера
Литература
- Шаблон:Статья
- Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
- Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
- Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Шаблон:Wayback Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
- Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. Шаблон:Wayback М.: Физматлит, 1963, 411 с.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — Шаблон:М: Наука, 1966.
- В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984.
Примечания
Ссылки
- Л. И. Коваленко, Элементы векторного анализа — МФТИ 2001 (pdf) Шаблон:Wayback
- Статья по векторному анализу на Astronet Шаблон:Wayback
Шаблон:Вс Шаблон:Разделы математики
- ↑ В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984. Статья "Оператор Лапласа" и "Ротор векторного поля".
- ↑ В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984. Статья "Дифференциальные операции второго порядка".
