Русская Википедия:Векторный оператор Лапласа

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Ве́кторный опера́тор Лапла́са (или ве́кторный лапласиа́н) — это векторный дифференциальный оператор второго порядка, определённый над векторным полем и обозначаемый символом <math>\Delta</math>Шаблон:Sfn, аналогичный скалярному оператору Лапласа. Векторный оператор Лапласа действует на векторное поле и имеет векторное значение, тогда как скалярный лапласиан действует на скалярное поле и имеет скалярное значение. При вычислении в декартовых координатах получаемое векторное поле эквивалентно векторному полю скалярного лапласиана, действующего на отдельные компоненты исходного вектора.

Поскольку векторный и скалярный лапласианы обозначаются одним и тем же символом, большой греческой буквой дельта, но являются разными математическими объектами, в рамках данной статьи векторный лапласиан обозначается черным цветом, а скалярный лапласиан — синим.

<math>\Delta = \frac{\partial^2 }{\partial x^2} +\frac{\partial^2 }{\partial y^2} +\frac{\partial^2 }{\partial z^2} </math>

<math>\Delta \mathbf{A} = {\color{blue}\Delta} A_x \mathbf i + {\color{blue}\Delta} A_y \mathbf j + {\color{blue}\Delta} A_z \mathbf k </math>

<math>\Delta \mathbf{A} = \biggl(\frac{\partial^2 A_x}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 A_x}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2}\Biggr)\mathbf i+ \biggl(\frac{\partial^2 A_y}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 A_y}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2}\Biggr)\mathbf j+ \biggl(\frac{\partial^2 A_z}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 A_z}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 A_z}{\partial z^2}\Biggr)\mathbf k </math>

Определение

Векторный оператор Лапласа векторного поля <math>\mathbf{A}</math> определяется следующим образом:

• Через оператор набла:

<math> \Delta \mathbf{A} = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})</math> .

• Через градиент, дивергенцию и ротор:

<math> \Delta \mathbf{A} = \mathrm{grad}(\mathrm{div} \mathbf{A}) - \mathrm{rot} (\mathrm{rot} \mathbf{A})</math>.

В декартовых координатах векторный лапласиан векторного поля <math>\mathbf{A}</math> можно представить в виде вектора, компонентами которого являются скалярные лапласианы компонент векторного поля <math>\mathbf{A}</math>:

<math> \Delta \mathbf{A} = \left\{ {\color{blue}\Delta} A_x, {\color{blue}\Delta} A_y, {\color{blue}\Delta} A_z \right\}</math> Шаблон:Sfn,

где <math>A_x</math>, <math>A_y</math>, <math>A_z</math> — компоненты векторного поля <math>\mathbf{A}</math>.

Выражения для векторного оператора Лапласа в других системах координат можно найти в статье «Оператор набла в различных системах координат».

Обобщение

Шаблон:Ориссный раздел Лапласиан любого тензорного поля <math>\mathbf{T}</math> (скаляры и векторы являются частными случаями тензоров) определяется как дивергенция градиента тензора:

<math>\Delta \mathbf{T} = \nabla \cdot (\nabla \mathbf{T})</math>.

В случае если <math>\mathbf{T}</math> — это скаляр (тензор нулевого порядка), оператор Лапласа принимает привычную форму.

Если <math>\mathbf{T}</math> — это вектор (тензор первого порядка), то его градиент это ковариантная производная, которая является тензором второго порядка, а его дивергенция — это снова вектор. Формула для векторного лапласиана может быть представлена как дивергенция выражения для градиента вектора:

<math>\nabla \mathbf{T}= \left\{ \nabla T_x, \nabla T_y, \nabla T_z \right\}=\begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} & T_{xz} \\

T_{yx} & T_{yy} & T_{yz} \\ T_{zx} & T_{zy} & T_{zz} \end{bmatrix}</math>,

где <math>T_{uv} \equiv \frac{\partial T_v}{\partial u}</math> (общий вид компоненты тензора), <math>u</math> и <math>v</math> могут принимать значения из множества <math>\{x,y,z\}</math>.

Аналогично, скалярное произведение вектора на градиент другого вектора (тензор второго порядка), значением которого является вектор, может быть рассмотрено как произведение матриц:

<math> \mathbf{A} \cdot \nabla \mathbf{B} = \begin{bmatrix} A_x & A_y & A_z \end{bmatrix} \nabla \mathbf{B} = \begin{bmatrix} \mathbf{A} \cdot \nabla B_x & \mathbf{A} \cdot \nabla B_y & \mathbf{A} \cdot \nabla B_z \end{bmatrix}</math>.

Данное выражение зависит от системы координат.

Использование в физике

Примером использования векторного оператора Лапласа являются уравнения Навье — Стокса для вязкой несжимаемой жидкостиШаблон:Sfn:

<math>\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+ ( \mathbf{v} \cdot \nabla ) \mathbf{v}\right)=\rho \mathbf{f}-\nabla p +\mu\left(\Delta \mathbf{v}\right)</math>,

где слагаемое с векторным оператором Лапласа от поля скоростей <math>\mu\left(\Delta \mathbf{v}\right)</math> представляет собой вязкость жидкости.

Уравнения плоской электромагнитной волны:

<math>\Delta \mathbf{E} =\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0{\partial^2 \mathbf{E} \over \partial t^2} </math>

<math>\Delta \mathbf{H} =\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0{\partial^2 \mathbf{H} \over \partial t^2} </math>

Литература

• Шаблон:Книга
• В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984.
• И.В.Савельев "Курс общей физики" том II