Русская Википедия:Векторный потенциал
Шаблон:О Шаблон:Значения В векторном анализе ве́кторный потенциа́л — это векторное поле, ротор которого равен заданному векторному полю. Он аналогичен скалярному потенциалу, который определяется как скалярное поле, градиент которого равен заданному векторному полю.
Формально, если <math>\mathbf{v}</math> — векторное поле, векторным потенциалом называется векторное поле <math>\mathbf{A}</math> такое, что
- <math> \mathbf{v} = \nabla \times \mathbf{A}. </math>
Если <math>\mathbf{A}</math> является векторным потенциалом для поля <math>\mathbf{v}</math>, то из тождества
- <math>\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0</math>
(дивергенция ротора равна нулю) следует
- <math>\nabla \cdot \mathbf{v} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0,</math>
то есть <math>\mathbf{v}</math> должно быть соленоидальным векторным полем.
Для любого соленоидального векторного поля, удовлетворяющего определённым условиям, существует векторный потенциал. В частности, его существование зависит от области, на которой определено поле — в случае многосвязной области потенциал вихревого поля обычно не существует.
Теорема
Пусть
- <math>\mathbf{v} : \mathbb R^3 \to \mathbb R^3</math>
— дважды непрерывно дифференцируемое соленоидальное векторное поле. Предположим, что <math>\mathbf{v}\left(\mathbf{x}\right)</math> убывает достаточно быстро при <math>\|\mathbf{x}\| \rightarrow \infty</math>. Определим
- <math> \mathbf{A} (\mathbf{x}) = \frac{1}{4 \pi} \int\limits_{\mathbb R^3} \frac{ \nabla_y \times \mathbf{v} (\mathbf{y})}{\left\|\mathbf{x} -\mathbf{y} \right\|} \, d\mathbf{y}. </math>
Тогда <math>\mathbf{A}</math> является векторным потенциалом для <math>\mathbf{v}</math>, то есть
- <math>\nabla \times \mathbf{A} =\mathbf{v}. </math>
Обобщением этой теоремы является разложение Гельмгольца, согласно которому любое векторное поле может быть представлено как сумма соленоидального векторного поля и безвихревого векторного поля.
Неоднозначность выбора потенциала
Векторный потенциал соленоидального векторного поля определяется неоднозначно. Если <math>\mathbf{A}</math> является векторным потенциалом для <math>\mathbf{v}</math>, также им является
- <math> \mathbf{A} + \nabla m, </math>
где <math>m</math> — любая непрерывно дифференцируемая скалярная функция. Это является следствием того факта, что ротор градиента равен нулю.
В электродинамике это даёт неоднозначность при определении потенциалов электромагнитного поля и решается наложением на потенциал дополнительного условия калибровки.
Векторный потенциал в физике
Уравнения Максвелла
Одним из способов записи уравнений Максвелла является формулировка в терминах векторного и скалярного потенциалов. Векторный потенциал <math>\mathbf A</math> вводится таким образом, что
- <math>\mu_0 \mathbf H = \mathbf B = \operatorname{rot} \mathbf A</math> (в системе СИ).
При этом уравнение <math>\operatorname{div} \mathbf B = 0</math> удовлетворяется автоматически.
Подстановка выражения для <math>\mathbf A</math> в
- <math>\operatorname{rot}\mathbf E = - \frac{\partial \mathbf B}{\partial t}</math>
приводит к уравнению
- <math>\operatorname{rot} \left( \mathbf E + \frac{\partial \mathbf A}{\partial t} \right) = 0,</math>
согласно которому, так же как и в электростатике, вводится скалярный потенциал. Однако теперь в <math>\mathbf E</math> вносят вклад и скалярный, и векторный потенциалы:
- <math>\mathbf E = - \operatorname{grad}\; \varphi - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t}.</math>
Из уравнения <math>\operatorname{rot} \mathbf H = \mathbf j + \frac{\partial \mathbf D}{\partial t}</math> следует
- <math>\operatorname{rot}\; \operatorname{rot} \mathbf A = \mu_0 \mathbf j + \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \left(-\operatorname{grad}\;\varphi - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t} \right).</math>
Используя равенство <math>\operatorname{rot}\; \operatorname{rot} \mathbf A = \operatorname{grad}\;\operatorname{div}\mathbf A - \nabla^2\mathbf A</math>, уравнения для векторного и скалярного потенциалов можно записать в виде
- <math>\Delta \mathbf A - \operatorname{grad} \left(\operatorname{div}\mathbf A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \varphi}{\partial t} \right) - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} = -\mu_0 \mathbf j, </math>
- <math>\Delta \varphi + \frac{\partial}{\partial t} \operatorname{div} \mathbf A = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}.</math>
Физический смысл векторного потенциала
Шаблон:Details В классической электродинамике векторный потенциал достаточно часто трактовался как величина, не имеющая непосредственного физического смысла, формально вводимая лишь для удобства выкладок, хотя уже в структуре действия для классической электродинамики векторный потенциал входит таким прямым образом, что это наводит на мысль о его фундаментальном характере.
В квантовой теории это имеет прозрачный физический смысл прямого влияния векторного потенциала на фазу волновой функции движущейся в магнитном поле частицы. Более того, удалось поставить квантовые эксперименты, показавшие, что векторный потенциал доступен достаточно непосредственному в некотором смысле измерению (по крайней мере, речь идёт о том, что векторный потенциал может влиять наблюдаемым измеримым образом на квантовую частицу даже тогда, когда напряженность магнитного поля в областях, доступных частице, всюду равна нулю, то есть магнитное поле не может оказывать воздействие на частицу через напряженность, а лишь прямо — через векторный потенциал; см. Эффект Ааронова — Бома).
Подобно тому, как скалярный потенциал связан с понятием энергии, векторный потенциал обнаруживает тесную связь с понятием импульса. Так, в случае быстрого отключения магнитного поля частица, находившаяся в нём, получает дополнительный импульс qA.
См. также
- Скалярный потенциал
- Основная теорема векторного анализа
- Векторный потенциал электромагнитного поля
- Вектор Герца
- Калибровка векторного потенциала
