Русская Википедия:Вектор-функция
Вектор-функция — функция, значениями которой являются векторы в векторном пространстве <math>\mathbb V</math> двух, трёх или более измерений. Аргументами функции могут быть:
- одна скалярная переменная — тогда значения вектор-функции определяют в <math>\mathbb V</math> некоторую кривую;
- m скалярных переменных — тогда значения вектор-функции образуют в <math>\mathbb V</math>, вообще говоря, m-мерную поверхность;
- векторная переменная — в этом случае вектор-функцию обычно рассматривают как векторное поле на <math>\mathbb V</math>.
Вектор-функция одной скалярной переменной
Для наглядности далее ограничимся случаем трёхмерного пространства, хотя распространение на общий случай не составляет труда. Вектор-функция одной скалярной переменной <math>\mathbf{r}(t)</math> отображает некоторый интервал вещественных чисел <math>t_1 \leqslant t \leqslant t_2</math> в множество пространственных векторов (интервал может также быть бесконечным).
Выбрав координатные орты <math>\mathbf{{\hat{i}}}, \mathbf{{\hat{j}}}, \mathbf{{\hat{k}}}</math>, мы можем разложить вектор-функцию на три координатные функции x(t), y(t), z(t):
- <math>\mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf{{\hat{i}}}+y(t)\mathbf{{\hat{j}}}+z(t)\mathbf{{\hat{k}}}</math>
Рассматриваемые как радиус-векторы, значения вектор-функции образуют в пространстве некоторую кривую, для которой t является параметром.
Говорят, что вектор-функция <math>\mathbf{r}(t)</math> имеет предел <math>\mathbf{r_0}</math> в точке <math>t=t_0</math>, если <math>\lim_{t\to t_0}|\mathbf{r}(t) - \mathbf{r_0}|= 0</math> (здесь и далее <math>|\mathbf{v}|</math> обозначают модуль вектора <math>\mathbf{v}</math>). Предел вектор-функции имеет обычные свойства:
- Предел суммы вектор-функций равен сумме пределов слагаемых (в предположении, что они существуют).
- Предел скалярного произведения вектор-функций равен скалярному произведению пределов сомножителей.
- Предел векторного произведения вектор-функций равен векторному произведению пределов сомножителей.
Непрерывность вектор-функции определяется традиционно.
Производная вектор-функции по параметру
Определим производную вектор-функции <math>\mathbf{r}(t)</math> по параметру:
- <math>\frac{d}{dt}\mathbf{r}(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{r}(t+h) - \mathbf{r}(t)}{h}</math>.
Если производная в точке <math>t</math> существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут <math>x'(t),\ y'(t),\ z'(t)</math>.
Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):
- <math>\frac{d}{dt} (\mathbf{r_1}(t)+\mathbf{r_2}(t))=\frac{d\mathbf{r_1}(t)}{dt}+\frac{d\mathbf{r_2}(t)}{dt}</math> — производная суммы есть сумма производных
- <math>\frac{d}{dt} (f(t)\mathbf{r}(t))=\frac{df(t)}{dt}\mathbf{r}(t) + f(t)\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}</math> — здесь f(t) — дифференцируемая скалярная функция.
- <math>\frac{d}{dt} (\mathbf{r_1}(t)\mathbf{r_2}(t))=\frac{d\mathbf{r_1}(t)}{dt}\mathbf{r_2}(t) + \mathbf{r_1}(t)\frac{d\mathbf{r_2}(t)}{dt}</math> — дифференцирование скалярного произведения.
- <math>\frac{d}{dt} [\mathbf{r_1}(t)\mathbf{r_2}(t)]=\left [\frac{d\mathbf{r_1}(t)}{dt}\mathbf{r_2}(t)\right ] + \left [\mathbf{r_1}(t) \frac{d\mathbf{r_2}(t)}{dt}\right]</math> — дифференцирование векторного произведения.
- <math>\frac{d}{dt} (\mathbf{a}(t),\mathbf{b}(t),\mathbf{c}(t))=\left (\frac{d\mathbf{a}(t)}{dt},\mathbf{b}(t),\mathbf{c}(t)\right) + \left (\mathbf{a}(t),\frac{d\mathbf{b}(t)}{dt},\mathbf{c}(t)\right) + \left (\mathbf{a}(t), \mathbf{b}(t), \frac{d\mathbf{c}(t)}{dt}\right)</math> — дифференцирование смешанного произведения.
О применении вектор-функций одной скалярной переменной в геометрии см.: дифференциальная геометрия кривых.
Вектор-функция нескольких скалярных переменных
Для наглядности ограничимся случаем двух переменных в трёхмерном пространстве. Значения вектор-функции <math>\mathbf{r}(u, v)</math> (их годограф) образуют, вообще говоря, двумерную поверхность, на которой аргументы u, v можно рассматривать как внутренние координаты точек поверхности.
В координатах уравнение <math>\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\ v)</math> имеет вид:
- <math>x = x(u,\ v);\ y = y(u,\ v);\ z = z(u,\ v)</math>
Аналогично случаю одной переменной, мы можем определить производные вектор-функции, которых теперь будет две: <math>\frac{\partial\mathbf{r}} {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial v}</math>. Участок поверхности будет невырожденным (то есть в нашем случае — двумерным), если на нём <math>\left[\frac{\partial\mathbf{r}} {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial v}\right]</math> не обращается тождественно в ноль.
Кривые на этой поверхности удобно задавать в виде:
- <math>u = u(t);\ v = v(t)</math>,
где t — параметр кривой. Зависимости <math>u(t),\ v(t)</math> предполагаются дифференцируемыми, причём в рассматриваемой области их производные не должны одновременно обращаться в нуль. Особую роль играют координатные линии, образующие сетку координат на поверхности:
- <math>u = t;\ v = const</math> — первая координатная линия.
- <math>u = const;\ v = t</math> — вторая координатная линия.
Если на поверхности нет особых точек (<math>\left[\frac{\partial\mathbf{r}} {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial v}\right]</math> нигде не обращается в ноль), то через каждую точку поверхности проходят точно две координатные линии.
Подробнее о геометрических приложениях вектор-функций нескольких скалярных переменных см.: Теория поверхностей.
Литература
- Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. 3-е изд. М.: Высшая школа, 1966.
- Краснов М. Л., Кисилев А.И., Макаренко Г.И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-е изд. УРСС, 2002)
- Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Шаблон:Wayback 9-е изд. М.: Наука, 1965.
