Русская Википедия:Вероятность безотказной работы
Вероятность безотказной работы — это вероятность того, что в пределах заданной наработки или заданном интервале времени отказ объекта не возникает. Вероятность безотказной работы вместе с интенсивностью отказов определяет безотказность объекта (при этом вероятность безотказной работы обратна вероятности отказа объекта).
Показатель вероятности безотказной работы определяется статистической оценкой:
<math>P(t) = \frac{N_0 - n(t)}{N_0} = 1 - \frac{n(t)}{N_0}</math>
где <math>N_0</math> — исходное число работоспособных объектов,
<math>n(t)</math> — число отказавших объектов за время <math>t</math>.
Вероятность безотказной работы группы взаимосвязанных объектов равна произведению вероятностей безотказной работы каждого объекта в этой группе: <math> P(t) = P_1(t) \cdot P_2(t) \cdot ... \cdot P_n(t) = \prod^n_{k=1}P_k(t) </math> где n — число объектов в группе.
Чем больше объектов в группе, тем ниже надежность всей группы, так как если <math> P_1(t) = P_2(t) = ... = P_n(t) </math>, то тогда <math> P(t) = [P_1(t)]^n </math>.
Среднее время безотказной работы системы
Среднее время безотказной работы (средняя наработка на отказ) <math>T_0</math> — для невосстанавливаемых (неремонтируемых) систем — это математическое ожидание времени работы системы до отказа:
<math> T_0 = M = \int\limits_0^\mathcal {\infty} t \cdot f(t) dt = - \int\limits_0^\mathcal {\infty} t dP(t) </math>
Пределы несобственного интеграла изменяются от 0 до <math>infty,</math> так как время не может быть отрицательным; <math>f(t)</math> — есть плотность вероятности возникновения отказов системы или её невосстанавливаемого элемента.
<math>P(T)</math> — есть вероятность безотказной работы в интервале времени <math>0 < t < T.</math> В начальный момент вероятность <math>P(T)</math> равна единице. В конце времени работы системы вероятность <math>P(T)</math> равна нулю.
Вероятность <math>P(T)</math> связана с плотностью вероятности возникновения отказов системы или её невосстанавливаемого элемента следующим образом:
<math> f(t) = - \frac{d P(t)}{dt}.</math>
Проинтегрировав выражение для <math>T_0</math> по частям, получим:
- <math>T_0 = \int\limits_0^\mathcal {\infty} P(t) dt.</math>
Графически полученное выражение для <math>T_0</math> представлено на рисунке как площадь под графиком вероятности безотказной работы <math>P(T)</math> от времени <math>t.</math> В начальный момент вероятность </math>Р(T)</math> равна единице. В конце времени работы системы </math>P(T)</math> равна нулю.
Здесь <math>T \ge 0</math> — случайное время работы системы до отказа или наработка на отказ для невосстанавливаемого элемента или системы.
Типичные распределения времени безотказной работы
- Экспоненциальное распределение: <math>f(t)=\lambda e^{-\lambda t}</math>, <math>\lambda > 0</math>, <math>t \geqslant 0</math>.
- Гамма-распределение: <math>f(t)=\frac{\lambda (\lambda t)^{\alpha - 1} e^{-\lambda t}}{\Gamma(\alpha)}</math>, <math>\lambda, \alpha > 0</math>, <math>t \geqslant 0</math>.
- Распределение Вейбулла: <math>f(t)=\lambda \alpha t^{\alpha - 1} e^{-\lambda t^{\alpha}}</math>, <math>\lambda, \alpha > 0</math>, <math>t \geqslant 0</math>.
- Модифицированное распределение экстремального значения: <math>f(t)=\frac{1}{\lambda} \exp{\left [ -\frac{e^{t}-1}{\lambda} + t \right ]}</math>, <math>\lambda > 0</math>, <math>t \geqslant 0</math>.
- Усечённое нормальное распределение: <math>f(t)=\frac{1}{a \sigma \sqrt{2 \pi}} \exp{\left [ -\frac{(t-\mu)^2}{2 \sigma^2} \right ]}</math>, <math>\sigma > 0</math>, <math>-\infty < \mu < \infty</math>, <math>0 < t < \infty</math>.
- Логарифмически-нормальное распределение: <math>f(t)=\frac{1}{t \sigma \sqrt{2 \pi}} \exp{\left [ -\frac{(\lg{t}-\mu)^2}{2 \sigma^2} \right ]}</math>, <math>\sigma > 0</math>, <math>-\infty < \mu < \infty</math>, <math>t \geqslant 0</math>.
Примечания
Литература
См. также
