Русская Википедия:Весьма суперсоставное число
В математике весьма суперсоставное число — это натуральное число, которое имеет больше делителей, чем любое другое число, масштабируемое относительно некоторой положительной степени самого числа. Это более сильное ограничение, чем ограничение сверхсоставного числа, которое определяется как имеющее больше делителей, чем любое меньшее положительное целое число.
Перечислены первые 10 весьма суперсоставных чисел и их факторизация.
| # простые множители |
ВССЧ[1] n |
простая факторизация |
простые показатели степени |
# делители d(n) |
праймориал факторизация | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | Шаблон:Math | 1 | 2 | 2 | Шаблон:Math |
| 2 | 6 | Шаблон:Math | 1,1 | 22 | 4 | Шаблон:Math |
| 3 | 12 | Шаблон:Math | 2,1 | 3×2 | 6 | Шаблон:Math |
| 4 | 60 | Шаблон:Math | 2,1,1 | 3×22 | 12 | Шаблон:Math |
| 5 | 120 | Шаблон:Math | 3,1,1 | 4×22 | 16 | Шаблон:Math |
| 6 | 360 | Шаблон:Math | 3,2,1 | 4×3×2 | 24 | Шаблон:Math |
| 7 | 2520 | Шаблон:Math | 3,2,1,1 | 4×3×22 | 48 | Шаблон:Math |
| 8 | 5040 | Шаблон:Math | 4,2,1,1 | 5×3×22 | 60 | Шаблон:Math |
| 9 | 55440 | Шаблон:Math | 4,2,1,1,1 | 5×3×23 | 120 | Шаблон:Math |
| 10 | 720720 | Шаблон:Math | 4,2,1,1,1,1 | 5×3×24 | 240 | Шаблон:Math |
Для весьма суперсоставного числа n существует положительное действительное число ε такое, что для всех натуральных чисел k, меньших n, мы имеем
- <math>\frac{d(n)}{n^\varepsilon}\geq\frac{d(k)}{k^\varepsilon}</math>
и для всех натуральных чисел k, больших n, имеем
- <math>\frac{d(n)}{n^\varepsilon}>\frac{d(k)}{k^\varepsilon}</math>
где d(n), функция делителей, обозначает количество делителей числа n. Термин был введён Рамануджаном (1915 год)[2].
Первые 15 весьма суперсоставных чисел 2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 (Шаблон:OEIS) также являются первыми 15 колоссально избыточными числами, которые удовлетворяют аналогичному условию, основанному на функции суммы делителей, а не на числе делителей.
Свойства
Все весьма суперсоставные числа являются сверхсоставными.
Эффективное построение множества всех весьма суперсоставных чисел даётся следующим монотонным отображением положительных действительных чисел[3]. Пусть
- <math>e_p(x) = \left\lfloor \frac{1}{\sqrt[x]{p} - 1} \right\rfloor\quad </math>
для любого простого числа p и положительного действительного x. Тогда
- <math>\quad s(x) = \prod_{p \in \mathbb{P}} p^{e_p(x)}\quad</math> является весьма суперсоставным числом.
Обратите внимание, что произведение не нужно вычислять бесконечно, потому что если <math>p > 2^x</math>, тогда <math>e_p(x) = 0</math>, поэтому произведение для расчёта <math>s(x)</math> может быть прекращено при <math>p \ge 2^x</math>.
Также обратите внимание, что в определении <math>e_p(x)</math>, <math>1/x</math> аналогично <math>\varepsilon</math> в неявном определении весьма суперсоставного числа.
Более того, для каждого весьма суперсоставного числа <math>s^\prime</math> существует полуоткрытый интервал <math>I \subset \R^+</math> такой, что <math>\forall x \in I: s(x) = s^\prime</math>.
Из этого представления следует, что существует бесконечная последовательность <math>\pi_1, \pi_2, \ldots \in \mathbb{P}</math> такая, что для n-го весьма суперсоставного числа <math>s_n</math> содержит
- <math>s_n = \prod_{i=1}^n\pi_i</math>
Первыми <math>\pi_i</math> являются 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, ... (Шаблон:OEIS). Другими словами, частное двух последовательных весьма суперсоставных чисел является простым числом.
Весьма суперсоставные корни
Первые несколько весьма суперсоставных чисел часто использовались как основание системы счисления из-за их высокой делимости по размеру. Например:
- Двоичное (основание 2)
- Шаблон:Нп5 (основание 6)
- Двенадцатеричное (основание 12)
- Шестидесятеричное (основание 60)
Более крупные весьма суперсоставные числа можно использовать и по-другому. Число 120 отображается как длинная сотня, а число 360 — как число градусов в круге.
Примечания
Ссылки
- Шаблон:Cite journal Reprinted in Collected Papers (Ed. G. H. Hardy et al.), New York: Chelsea, pp. 78–129, 1962
- Шаблон:Cite book
Внешние ссылки
Шаблон:Числа по характеристикам делимости Шаблон:Классы натуральных чисел
- ↑ ВССЧ — сокращение от Весьма СуперСоставное Число
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Рамануджан (1915); смотрите также URL http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/hcn.dvi Шаблон:Wayback
