Русская Википедия:Взаимодействие Юкавы
Шаблон:Другое значение В физике элементарных частиц взаимодействие Юкавы, названное в честь Хидэки Юкавы — это взаимодействие между скалярным полем <math>\phi</math> и дираковским полем <math>\Psi</math>:
- <math>V \approx g\bar\Psi \phi \Psi</math> (скаляр) или <math>g \bar \Psi i\gamma^5 \phi \Psi</math> (псевдоскаляр).
Взаимодействие Юкавы можно использовать для описания сильных ядерных сил между нуклонами (которые являются фермионами), переносимых пионами (которые являются псевдоскалярными мезонами). Взаимодействие Юкавы также используется в рамках Стандартной модели для описания связи между хиггсовским полем и безмассовыми полями кварков и электронов. Посредством механизма спонтанного нарушения симметрии фермионы обретают массу, пропорциональную среднему ожидаемому значению поля Хиггса.
Действие
Действие для мезонного поля <math> \phi </math>, взаимодействующего c дираковским фермионным полем <math> \psi </math>:
- <math>S[\phi,\psi]=\int d^dx \;\left[
\mathcal{L}_\mathrm{meson}(\phi) + \mathcal{L}_\mathrm{Dirac}(\psi) + \mathcal{L}_\mathrm{Yukawa}(\phi,\psi) \right] </math>
где интегрирование выполняется по d измерениям (обычно 4 для четырёхмерного пространства-времени). Лагранжиан мезонного поля:
- <math>\mathcal{L}_\mathrm{meson}(\phi) =
\frac{1}{2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi -V(\phi)</math>.
Здесь <math>V(\phi)</math> — член, отвечающий за самодействие. Для свободного массивного мезона он равен <math>V(\phi)=\frac{1}{2}\mu^2\phi^2</math> где <math>\mu</math> масса мезона. Для (перенормируемого) самодействующего поля он равен <math>V(\phi)=\frac{1}{2}\mu^2\phi^2 + \lambda\phi^4</math> где λ константа связи. Этот потенциал подробно рассматривается в статье взаимодействие четвёртого порядка.
Свободный лагранжиан Дирака равен
- <math>\mathcal{L}_\mathrm{Dirac}(\psi) =
\bar{\psi}(i\partial\!\!\!/-m)\psi </math>
где m — положительная, действительная масса фермиона. Лагранжиан взаимодействия Юкавы равен
- <math>\mathcal{L}_\mathrm{Yukawa}(\phi,\psi) = -g\bar\psi \phi \psi</math>
где g — (действительная) константа связи для скалярных мезонов и
- <math>\mathcal{L}_\mathrm{Yukawa}(\phi,\psi) = -g\bar\psi i\gamma^5 \phi \psi</math>
для псевдоскалярных мезонов. Учитывая вышесказанное, действие можно записать как
- <math>S[\phi,\psi]=\int d^dx
\left[\frac{1}{2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi -V(\phi) + \bar{\psi}(i\partial\!\!\!/-m)\psi -g \bar{\psi}\phi\psi \right]</math>
Классический потенциал
Если два скалярных мезона взаимодействуют посредством взаимодействия Юкавы, то потенциал между двумя частицами будет равен:
- <math>V(r) = -\frac{g^2}{4\pi} \frac{1}{r} e^{-\mu r}</math>
— потенциал Юкавы (такой же, как и кулоновский потенциал, если не учитывать знак и экспоненциальный фактор). Из-за знака взаимодействие Юкавы может быть только притяжением для всех частиц (электромагнитное взаимодействие является отталкиванием для одинаковых частиц). Это объясняется тем фактом, что частица Юкавы имеет нулевой спин, а чётный спин всегда приводит к потенциалу притяжения. Экспонента дает взаимодействию конечную дальность, так что частицы на больших расстояниях не взаимодействуют.
Спонтанное нарушение симметрии
Пусть потенциал <math>V(\phi)</math> имеет минимум не при <math>\phi=0</math>, а при каком-то ненулевом значении <math>\phi_0</math>. Это возможно, если написать (например) <math>V(\phi)=\mu^2\phi^2 + \lambda\phi^4</math> и затем присвоить μ мнимое значение. В этом случае можно сказать, что лагранжиан показывает спонтанное нарушение симметрии. Ненулевое значение φ называется средним ожидаемым значением φ. В Стандартной модели это ненулевое значение ответственно за ненулевые фермионные массы, как показано ниже.
Чтобы показать член, содержащий массу, можно выразить действие через поле <math>\tilde \phi = \phi-\phi_0</math>, где <math>\phi_0</math> понимается как константа, независимая от положения. Мы видим, что выражение Юкавы имеет член
- <math>g\phi_0 \bar\psi\psi</math>
и поскольку g и <math>\phi_0</math> — константы, этот член выглядит точно как массовый член для фермиона с массой <math>g\phi_0</math>. Это механизм, посредством которого спонтанное нарушение симметрии придает массу фермионам. Поле <math>\tilde\phi</math> известно как Поле Хиггса.
Форма Майорана
Также возможно получить взаимодействие Юкавы между скаляром и полем Майорана. На самом деле, взаимодействие Юкавы между скаляром и спинором Дирака можно рассматривать как взаимодействие Юкавы между скаляром и двумя спинорами Майорана одной массы. Раскрыв в терминах двух хиральных спиноров Майорана, получим
- <math>S[\phi,\chi]=\int d^dx \left[\frac{1}{2}\partial^\mu\phi \partial_\mu \phi -V(\phi)+\chi^\dagger i\bar{\sigma}\cdot\partial\chi+\frac{i}{2}(m+g \phi)\chi^T \sigma^2 \chi-\frac{i}{2}(m+g \phi)^* \chi^\dagger \sigma^2 \chi^*\right]</math>
где g — комплексная константа связи, а m — комплексное число.
Правила Фейнмана
Статья потенциал Юкавы содержит простой пример правил Фейнмана и вычисление амплитуды рассеяния по диаграмме Фейнмана, соответствующей взаимодействию Юкавы.
См. также
Ссылки
- Claude Itzykson and Jean-Bernard Zuber, Quantum Field Theory, (1980) McGraw-Hill Book Co. New York ISBN 0-07-032071-3
- James D. Bjorken and Sidney D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics (1964) McGraw-Hill Book Co. New York ISBN 0-07-232002-8
- Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory (1995), Addison-Wesley Publishing Company, ISBN 0-201-50397-2
