Русская Википедия:Винеровский процесс
Винеровский процесс в теории случайных процессов — это математическая модель броуновского движения или случайного блуждания с непрерывным временем.
Определение
Случайный процесс <math> W_t </math>, где <math> t \ge 0 </math> называется винеровским процессом, если
- <math>W_0 = 0</math> почти достоверно.
- <math>W_t</math> — процесс с независимыми приращениями.
- <math>W_t - W_s \sim \mathrm{N}(0, \sigma^{2}(t - s))</math>, <math>\forall 0\le s < t < \infty</math>,
где <math>\mathrm{N}(0, \sigma^{2}(t - s))</math> – нормальное распределение со средним <math>0</math> и дисперсией <math>\sigma^{2}(t - s)</math>. Величину <math>\sigma^2</math>, постоянную для процесса, далее будем считать равной <math> 1</math>.
Эквивалентное определение:
- <math>W_t</math> – гауссовский процесс.
- <math>\mathbb{E}W_t = 0</math>, <math> \forall t \geqslant 0</math>.
- <math>\text{cov}(W_t, W_s) = \min(t, s)</math>, <math>\forall t, s \geqslant 0</math>.
Непрерывность траекторий
Существует единственный винеровский процесс такой, что почти все его траектории всюду непрерывны. Поскольку обычно рассматривают именно этот процесс, то часто условие непрерывности траекторий включают в определение винеровского процесса.
Свойства винеровского процесса
- <math>W_t</math> — гауссовский процесс.
- <math>W_t</math> — марковский процесс.
- <math>W_t \sim \mathrm{N}(0,t)</math>. Соответственно <math>\mathbb{E}[W_t] = 0</math> и <math>\mathrm{D}[W_t] = t</math>.
- <math>\mathrm{cov}(W_s,W_t) = \min(s,t)</math>.
- <math>W_t</math> и <math>exp(W(t)-t/2)</math> - мартингалы. Здесь под мартингалом мы понимаем <math>\mathbb{E}[W_t|W_s,s\leqslant\tau] = EW_\tau</math>
- Если <math>W_t</math> — винеровский процесс, то <math>tW_{1/t}, t>0</math> и <math>0, t=0</math>, также будет винеровским.
- Винеровский процесс масштабно инвариантен или самоподобен. Если <math>W_t</math> — винеровский процесс, и <math>c > 0</math>, то
- <math>V_t = \frac{1}{\sqrt{c}} W_{ct}</math>
также является винеровским процессом.
- Корреляционная функция для производной винеровского процесса является дельта-функцией.
- Траектории винеровского процесса нигде не дифференцируемы почти наверное. Производная (в обобщённом смысле) винеровского процесса — нормальный белый шум.
- Для любого заданного отрезка траектории винеровского процесса — функции неограниченной вариации на этом отрезке почти наверное.
- Для винеровского процесса справедлив закон повторного логарифма.
- <math>\limsup\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{W_t}{\sqrt{2t\ln\ln t}}=1</math> почти наверное.
- <math>\int\limits_{0}^{t}W_sds\sim N(0,t^3/3)</math>
Многомерный винеровский процесс
Многомерный (<math>n</math>-мерный) винеровский процесс <math>\mathbf{W}_t</math> — это <math>\mathrm{R}^n</math>-значный случайный процесс, составленный из <math>n</math> независимых одномерных винеровских процессов, то есть
- <math>\mathbf{W}_t = \left( W^1_t,\ldots, W^n_t\right)^{\top}, \quad t \ge 0 </math>,
где процессы <math>\left\{W^i_t\right\},\; i = 1,\ldots,n</math> совместно независимы.
Связь с физическими процессами
Винеровский процесс описывает броуновское движение частицы, совершающей беспорядочные перемещения под влиянием ударов молекул жидкости. Константа <math>\sigma^2</math> при этом зависит от массы частицы и вязкости жидкости.
Ссылки
- Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения
См. также
