Русская Википедия:Вложенные радикалы
В алгебре вложенным радикалом называется радикал, содержащийся в другом радикале. Например
- <math>\sqrt{5-2\sqrt{5}\ },</math>
или более сложный пример
- <math>\sqrt[3]{2+\sqrt{3}+\sqrt[3]{4}\ }.</math>
Значения всех вложенных радикалов называются выразимыми в радикалах.
Упрощение вложенных радикалов
Некоторые вложенные радикалы могут быть упрощены. Например:
- <math>\sqrt{3+2\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2}\,,</math>
- <math>\sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1} = \frac{1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}} \,.</math>
В общем случае упрощение является сложной проблемой, если оно вообще возможно. Следующая формула позволяет произвести упрощение в случае, когда <math>R=\sqrt{a^2-b^2c}</math> рационально:
- <math> \sqrt{a \pm b\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+ R}{2}} \pm \sqrt{\frac{a- R}{2}}. </math>
Например,
- <math> \sqrt{a \pm \sqrt{a^2-b^2}}=\sqrt{\frac{a+ b}{2}} \pm \sqrt{\frac{a- b}{2}} \quad (|a|\ge |b|). </math>
В частности, для комплексных чисел (<math>c=-1</math>):
- <math> \sqrt{a+bi}=\pm \left ( \sqrt{\frac{\left | z \right | +a}{2}}+i \sgn(b) \sqrt{\frac{\left | z \right | -a}{2}} \right ),</math> где <math> \left | z \right |=\sqrt{a^2+b^2}. </math>
Бесконечно вложенные радикалы
Общие положения
В некоторых случаях бесконечно вложенные радикалы могут быть тождественны некоторому рациональному числу, например выражение
- <math> x = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}} </math>
равно 2. Для того чтобы это увидеть, возведем обе части выражения в квадрат и отнимем 2:
- <math> x^2 - 2 = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}} = x </math>;
- <math> x^2 - x - 2 = 0 </math>;
- <math> x_1 = 2, x_2 = -1 </math>.
Очевидно, что <math> -1 </math> не может являться значением исходного радикала.
Тривиальные случаи
- Для квадратного корня:
- <math> \sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{\cdots}}}}} = \frac{b + \sqrt {b^2+4a}}{2} </math>;
- Для корня степени <math> n </math>
- <math> \sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{\cdots}}}}} = x, </math>
- где <math> x </math> является решением уравнения <math> x^n - b x - a = 0 </math>.
Нетривиальные случаи
- Формула Рамануджана:
- <math> x + n + a = \sqrt{a x + (n + a)^2 + x \sqrt{a(x + n) + (n + a)^2 + (x + n)\sqrt{a(x + 2n) + (n + a)^2 + (x + 2n)\sqrt{\cdots}}}} </math>
Частные случаи
- Золотое сечение:
- <math> \phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{\cdots}}}} </math>
- Пластическое число:
- <math>\rho = \sqrt[3]{1 + \sqrt[3]{1 + \sqrt[3]{1 + \sqrt[3] { \cdots }}}} </math>
- Число Пи:
- <math> \frac{2}{\pi} = \sqrt\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt\frac{1}{2}}} \cdots </math>
Ссылки
- Шаблон:Mathworld
- Шаблон:Mathworld
- Decreasing the Nesting Depth of Expressions Involving Square Roots (англ.)
- Simplifying Square Roots of Square Roots (англ.)
