Русская Википедия:Внешняя алгебра
Внешняя алгебра, или алгебра Грассмана, — ассоциативная алгебра, используемая в геометрии при построении теории интегрирования в многомерных пространствах. Впервые введена Грассманом в 1844 году.
Внешняя алгебра над пространством <math>V</math> обычно обозначается <math>\bigwedge V </math>. Важнейшим примером является алгебра дифференциальных форм на данном многообразии.
Определение и связанные понятия
Внешней алгеброй <math>\bigwedge V</math> векторного пространства <math>V</math> над полем <math>K</math> называют ассоциативную факторалгебру тензорной алгебры <math>T(V)</math> по двустороннему идеалу <math>I</math>, порождённому элементами вида <math> x \otimes x, x \in V </math>:
- <math>{\textstyle\bigwedge} V = T(V)/I </math>.
Если характеристика поля <math>\operatorname{char}(K) \ne 2</math>, то идеал <math>I</math> в точности совпадает с идеалом, порождённым элементами вида <math>x\otimes y + y \otimes x</math>.
Умножение Шаблон:Math в такой алгебре при этом называют внешним произведением. По построению оно антикоммутативно:
- <math> x \wedge y = - ( y \wedge x ) .</math>
k-й внешней степенью пространства <math>V</math> называют векторное пространство <math>\bigwedge\nolimits^kV</math>, порождённое элементами вида
- <math>x_1\wedge x_2\wedge\cdots\wedge x_k,\quad x_i\in V, i=1,2,\ldots, k,</math>
причём <math>\dim {\textstyle\bigwedge}^kV = \binom{n}{k}\,</math> и Шаблон:Math при Шаблон:Math.
Если <math>\dim V = n</math> и Шаблон:Math — базис <math>V</math>, то базисом <math>\bigwedge\nolimits^kV</math> является множество
- <math>\{\,e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge\cdots\wedge e_{i_k} ~ \big| ~~ k = 1,2,\cdots, n ~~\text{ и }~~ 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n \,\}.</math>
Тогда
- <math>{\textstyle\bigwedge}(V) = {\textstyle\bigwedge}^0(V)\oplus {\textstyle\bigwedge}^1(V) \oplus {\textstyle\bigwedge}^2(V) \oplus \cdots \oplus {\textstyle\bigwedge}^n(V),</math>
причём легко заметить, что внешняя алгебра естественным образом имеет градуировку: если <math>\alpha\in\bigwedge\nolimits^k\left(V\right)</math> и <math>\beta\in \bigwedge\nolimits^p\left(V\right)</math>, то
- <math>\alpha\wedge\beta = (-1)^{kp}\beta\wedge\alpha \quad \in \bigwedge\nolimits^{k+p}\left(V\right).</math>
Свойства
- Элементы пространства <math>\bigwedge\nolimits^rV</math> называются r-векторами. В случае, когда характеристика основного поля равна 0, их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над <math>V,</math> с операцией антисимметризированного (альтернированного) тензорного произведения, то есть внешнее произведение двух антисимметрических тензоров является композицией полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с тензорным произведением.
- В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:
- <math>(\mathbf a \wedge \mathbf b)_{ij} = a_i b_j - a_j b_i.</math>
- Замечание: Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу
- <math>(\mathbf a \wedge \mathbf b)_{ij} = (a_i b_j - a_j b_i)/2.</math>
- В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:
- Внешний квадрат произвольного вектора <math>\omega \in \bigwedge\nolimits^1V</math> нулевой:
- <math>\omega^{\wedge2} =\omega \wedge \omega = 0.</math>
- Для r-векторов при чётном r это неверно. Например
- <math>(\mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 + \mathbf e_3 \wedge \mathbf e_4)^{\wedge 2}=2\cdot \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_3 \wedge \mathbf e_4.</math>
- Линейно независимые системы из <math>r</math>-векторов <math>x_1, \dots, x_r</math> и <math>y_1, \dots, y_r</math> из <math>V</math> порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда <math>r</math>-векторы <math>x_1\wedge \dots \wedge x_r</math> и <math>y_1\wedge \dots \wedge y_r</math> пропорциональны.
Ссылки
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — Шаблон:М: Факториал Пресс, 2002. — ISBN 5-88688-060-7
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Шаблон:М: Физматлит, 2009.
- Шутц Б. Геометрические методы математической физики. — Шаблон:М: Мир, 1984.
- Ефимов Н. В. Введение в теорию внешних форм. — Шаблон:М: Наука, 1977.
См. также
