Русская Википедия:Внутренний автоморфизм
Внутренний автоморфизм — это вид автоморфизма группы, определённый в терминах фиксированного элемента группы, называемого сопрягающим элементом. Формально, если G — группа, а a — элемент группы G, то внутренний автоморфизм, определённый элементом a — это отображение f из G в себя, определённое для всех Шаблон:Math из Шаблон:Math по формуле
Здесь мы используем соглашение, что элементы группы действуют справа.
Операция Шаблон:Math называется сопряжением (см. также «Класс сопряжённости») и часто представляет интерес выделить случаи, когда сопряжение с помощью одного элемента оставляет неизменным другой элемент, от случая, когда сопряжение переводит элемент в другой элемент.
Фактически, утверждение, что сопряжение Шаблон:Math элементом Шаблон:Math оставляет Шаблон:Math неизменным, эквивалентно утверждению, что Шаблон:Math и Шаблон:Math коммутируют:
Таким образом, существование и число внутренних автоморфизмов, не являющихся тождественными, служит мерилом коммутативности в группе.
Автоморфизм группы Шаблон:Math является внутренним тогда и только тогда, когда он расширяется в любой группе, содержащей Шаблон:MathШаблон:Sfn.
Обозначения
Выражение Шаблон:Math часто записывается в виде степени Шаблон:Math. Эта запись используется, поскольку выполняется правило Шаблон:Math.
Свойства
Любой внутренний автоморфизм является, конечно, автоморфизмом группы Шаблон:Math, то есть биективным отображением из Шаблон:Math в Шаблон:Math. Он является также гомоморфизмом, что означает Шаблон:Math.
Внутренний и внешний автоморфизмы групп
Композиция двух внутренних автоморфизмов снова является внутренним автоморфизмом (как упоминалось выше — Шаблон:Math) и набор всех внутренних автоморфизмов группы Шаблон:Math сам по себе тоже является группой (группой внутренних автоморфизмов группы Шаблон:Math) и обозначается Шаблон:Math.
Шаблон:Math является нормальной подгруппой полной группы автоморфизмов Шаблон:Math группы Шаблон:Math. Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:Math — это факторгруппа
Группа внешних автоморфизмов отражает, в некотором смысле, сколь много автоморфизмов Шаблон:Math являются внутренними. Любой невнутренний автоморфизм даёт нетривиальный элемент группы Шаблон:Math, но различные невнутренние автоморфизмы могут давать одинаковые элементы группы Шаблон:Math.
Связывая элемент Шаблон:Math с внутренним автоморфизмом Шаблон:Math в группе Шаблон:Math как выше, получаем изоморфизм между факторгруппами Шаблон:Math (где Шаблон:Math — центр группы Шаблон:Math) и группой внутренних автоморфизмов:
Это является следствием первой теоремы об изоморфизмах, поскольку Шаблон:Math — это в точности множество тех элементов группы Шаблон:Math, которые дают тождественное отображение, когда используются для создания внутреннего автоморфизма (сопряжение ничего не меняет).
Невнутренние автоморфизмы конечных Шаблон:Math-групп
Результат Вольфганга Гащютца гласит, что если группа Шаблон:Math конечна и является неабелевой p-группой, то Шаблон:Math имеет автоморфизм порядка Шаблон:Math в некоторой степени, не являющийся внутренним.
Открытой проблемой является вопрос, любая ли неабелева Шаблон:Math-группа Шаблон:Math имеет автоморфизм порядка Шаблон:Math. Вопрос имеет положительный ответ, если Шаблон:Math удовлетворяет одному из условий:
- Группа Шаблон:Math является нильпотентной класса 2
- Шаблон:Math является Шаблон:Не переведено 5
- Шаблон:Math является Шаблон:Не переведено 5
- Централизатор Шаблон:Math группы Шаблон:Math центра Шаблон:Math Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:Math группы Шаблон:Math, Шаблон:Math не равен Шаблон:Math
Типы групп
Группа внутренних автоморфизмов Шаблон:Math тривиальна (то есть состоит только из нейтрального элемента) тогда и только тогда, когда группа Шаблон:Math абелева.
Легко показать, что Шаблон:Math может быть циклической группой, только когда она тривиальна.
Внутренние автоморфизмы могут составлять всю группу автоморфизмов. Группа, у которой все автоморфизмы являются внутренними, а центр тривиален, называется полной. Это выполняется для всех симметрических групп с Шаблон:Math элементами, когда Шаблон:Math не равно 2 или 6. Если Шаблон:Math, симметрическая группа имеет единственный нетривиальный класс внешних автоморфизмов, а при Шаблон:Math симметрическая группа, хотя и не имеет внешних автоморфизмов, является абелевой, что даёт нетривиальный центр, а потому группа не может быть полной.
Пусть группа Шаблон:Math совпадает со своим коммутантом (в англоязычной терминологии — совершенная группа). Если группа её внутренних автоморфизмов Шаблон:Math проста, то такая группа Шаблон:Math называется Шаблон:Не переведено 5.
Случай кольца
Если задано кольцо Шаблон:Math и единица Шаблон:Math из Шаблон:Math, отображение Шаблон:Math является автоморфизмом кольца Шаблон:Math. Автоморфизмы кольца такого вида называются внутренними автоморфизмами кольца Шаблон:Math. Эти автоморфизмы образуют нормальную подгруппу группы автоморфизмов кольца Шаблон:Math.
Случай алгебр Ли
Автоморфизм алгебры Ли Шаблон:Math называется внутренним автоморфизмом, если он имеет вид Шаблон:Math, где Шаблон:Math является сопряжённым отображением, а Шаблон:Math — элемент группы Ли, алгебра которого равна Шаблон:Math. Обозначение внутреннего автоморфизма алгебр Ли совместимо с обозначением для групп в том смысле, что внутренний автоморфизм группы Ли порождает единственный внутренний автоморфизм соответствующей алгебры Ли.
Примечания
Литература
Литература для дальнейшего чтения
