Русская Википедия:Внутренняя метрика
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Внутренняя метрика — метрика в пространстве, определяемая с помощью функционала длины, как инфимум длин всех путей (кривых), соединяющих данную пару точек.
Определения
Пусть задано топологическое пространство <math>X</math> и выбран класс некоторых допустимых путей <math>\Gamma</math> (путём в <math>X</math> называется гомеоморфный образ отрезка), содержащийся во множестве всех непрерывных путей в <math>X</math>.
- На пространстве <math>X</math> задан функционал длины, если на множестве <math>\Gamma</math> задана функция <math>L \colon \Gamma \to \mathbb{R}_+ \cup \infty</math>, ставящая в соответствие каждому <math>\gamma \in \Gamma</math> значение <math>L(\gamma)</math> (неотрицательное число или бесконечность), которое называется длиной пути <math>\gamma</math>.
- Метрика <math>\rho</math> на пространстве <math>X</math> называется внутренней, если для любых двух точек <math>x,y\in X</math> расстояние между ними определяется формулой <math>\rho(x,y) = \inf \{ L(\gamma) \},</math> где инфинум берётся по всем допустимым путям, соединяющим точки <math>x,y\in X</math>.
Связанные определения
- Пусть <math>x,y\in X</math> — две произвольные точки метрического пространства <math>\rho, X</math> и <math>\varepsilon</math> — произвольное положительное число. Точка <math>z_\epsilon \in X</math> называется их <math>\varepsilon</math>-серединой, если <math>\rho(x,z_\varepsilon),\ \rho(y,z_\varepsilon)<\tfrac12\rho(x,y)+\varepsilon.</math>
- Метрическое пространство <math>(X,\rho)</math> называется геодезическим, если любые две точки <math>X</math> можно соединить кратчайшей.
Свойства
- Если <math>(X,\rho)</math> — пространство с внутренней метрикой, то для любых двух точек <math>x,y\in X</math> и любого <math>\varepsilon>0</math> существует их <math>\varepsilon</math>-середина. В случае, когда метрическое пространство <math>(X,\rho)</math> полное, имеет место и обратное утверждение: если для любых двух точек <math>x,y\in X</math> и любого <math>\varepsilon>0</math> существует их <math>\varepsilon</math>-середина, то эта метрика внутренняя.
- Полное метрическое пространство <math>(X,\rho)</math> с внутренней метрикой обладает следующим свойством: для любых двух точек <math>x,y\in X</math> и <math>\varepsilon>0</math> найдётся кривая длины <math><\rho(x,y)+\varepsilon,</math> соединяющая точки <math>x</math> и <math>y</math>. Кроме того, в полном метрическом пространстве с внутренней метрикой длина кратчайшей совпадает с расстоянием между её концами.
- Теорема Хопфа — Ринова: Если <math>(X,\rho)</math> — локально компактное полное метрическое пространство с внутренней метрикой, то любые две точки <math>X</math> можно соединить кратчайшей. Более того, пространство <math>X</math> является ограниченно компактным (то есть все ограниченные замкнутые подмножества <math>X</math> являются компактными).
См. также
Литература
- Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В., Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004. ISBN 5-93972-300-4
