Русская Википедия:Возведение в степень
Возведе́ние в сте́пень — арифметическая операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения числа на себя. Степень с основанием <math>a</math> и натуральным показателем <math>b</math> обозначается как
- <math>a^b = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_b,</math>
где <math>b</math> — количество множителей (умножаемых чисел)[1][К 1].
Например, <math>3^2 = 3\cdot 3 = 9; \quad 2^4=2\cdot 2\cdot 2 \cdot 2 = 16</math>
В языках программирования, где написание <math>a^b</math> невозможно, применяются альтернативные обозначенияШаблон:Переход.
Возведение в степень может быть определено также для отрицательныхШаблон:Переход, рациональныхШаблон:Переход, вещественныхШаблон:Переход и комплексныхШаблон:Переход степеней[1].
Извлечение корня — одна из операций, обратных возведению в степень, она по известным значениям степени <math>c=a^b</math> и показателя <math>b</math> находит неизвестное основание <math>a=\sqrt[b]{c}</math>. Вторая обратная операция — логарифмирование, она по известным значениям степени <math>c=a^b</math> и основания <math>a</math> находит неизвестный показатель <math>b=\log_ac</math>. Задача нахождения числа по известному его логарифму (потенцирование, антилогарифм) решается с помощью операции возведения в степень.
Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.
Употребление в устной речи
Запись <math>a^n</math> обычно читается как «Шаблон:Math в <math>n</math>-й степени» или «Шаблон:Math в степени Шаблон:Math». Например, <math>10^4</math> читается как «десять в четвёртой степени», <math>10^{3/2}</math> читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».
Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например, <math>10^2</math> читается как «десять в квадрате», <math>10^3</math> читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики. Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры. В частности, вместо употребления слова «умножение» они говорили о площади прямоугольника или об объёме параллелепипеда: вместо <math>a^2</math>, <math>a^3</math> древние греки говорили «квадрат на отрезке Шаблон:Mvar», «куб на Шаблон:Mvar». По этой причине четвёртую степень и выше древние греки избегали[2].
Число, являющееся результатом возведения натурального числа в <math>n</math>-ую степень, называется точной <math>n</math>-ой степенью. В частности, число, являющееся результатом возведения натурального числа в квадрат (куб), называется точным квадратом (кубом). Точный квадрат также называется полным квадратом.
Свойства
Основные свойства
Все приведенные ниже основные свойства возведения в степень выполняются для натуральных, целых, рациональных и вещественных чиселШаблон:Sfn. Для комплексных чисел, в силу многозначности комплексной операции, они выполняются только в случае натурального показателя степениШаблон:Переход.
- <math>a^1 = a</math>
- <math>\left(ab\right)^n = a^nb^n</math>
- <math>\left({a\over b}\right)^n = {{a^n}\over{b^n}}</math>
- <math>a^na^m = a^{n+m}</math>
- <math>\left. {a^n\over {a^m}} \right. = a^{n-m}</math>
- <math>\left(a^n\right)^m = a^{nm}</math>.
Запись <math>a^{n^m}</math> не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть, в общем случае,<math>(a^n)^m \ne a^\left({n^m}\right)</math> Например, <math>(2^2)^3=4^3=64</math>, а <math>2^\left({2^3}\right)=2^8=256</math>. В математике принято считать запись <math>a^{n^m}</math> равнозначной <math>a^\left({n^m}\right)</math>, а вместо <math>(a^n)^m </math> можно писать просто <math>a^{nm}</math>, пользуясь предыдущим свойством. Впрочем, некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашенияШаблон:Какой.
Возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, <math>a^b\ne b^a</math>, например, <math>2^5=32</math>, но <math>5^2=25.</math>
Таблица натуральных степеней небольших чисел
n | n2 | n3 | n4 | n5 | n6 | n7 | n8 | n9 | n10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
3 | 9 | 27 | 81 | 243 | 729 | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val |
4 | 16 | 64 | 256 | 1024 | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val |
5 | 25 | 125 | 625 | 3125 | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val |
6 | 36 | 216 | 1296 | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val |
7 | 49 | 343 | 2401 | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val |
8 | 64 | 512 | 4096 | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val |
9 | 81 | 729 | 6561 | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val |
10 | 100 | 1000 | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val | Шаблон:Val |
Расширения
Целая степень
Операция обобщается на произвольные целые числа, включая отрицательные и нольШаблон:Sfn::
- <math> a^z = \begin{cases}
a^{z}, & z>0 \\ 1, & z=0, a \ne \; 0 \\ \dfrac{1}{a^{|z|}}, & z<0, a \ne \; 0 \end{cases}</math>
Результат не определён при <math>a = 0</math> и <math>z \leqslant 0</math>.
Рациональная степень
Возведение в рациональную степень <math>m/n,</math> где <math>m</math> — целое число, а <math>n</math> — натуральное, положительного числа определяется следующим образом[3]:
- <math>a^{m\over n} = (\sqrt[n]{a})^m; \quad\forall a>0, a\in \mathbb{R}, m\in \mathbb{Z}, n\in \mathbb{N}.</math>.
Степень с основанием, равным нулю, определяют только для положительного рационального показателя.
- <math>0^{m \over n}=0; \quad m\in \mathbb{N}, n\in \mathbb{N}.</math>
Для отрицательных <math>a</math> степень с дробным показателем не рассматривается.
Следствие: <math>\sqrt[n]{a} = a^{1/n};\quad a>0, a\in \mathbb{R}.</math> Таким образом, понятие рациональной степени объединяет возведение в целочисленную степень и извлечение корня в единую операцию.
Вещественная степень
Множество вещественных чисел — непрерывное упорядоченное поле, обозначается <math>\mathbb{R}</math>. Множество вещественных чисел не является счётным, его мощность называется мощностью континуума. Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение[4] соответствующих операций над рациональными числами.
Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями (где <math> \alpha</math> — положительное):
- <math> \alpha = a_0, a_1 a_2 \ldots a_n \ldots = \{a_n\},~~\alpha > 0,</math>
- <math> \beta = \pm b_0, b_1 b_2 \ldots b_n \ldots = \{b_n\},</math>
определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: <math>\alpha = [a_n]</math> и <math>\beta = [b_n]</math>, то их степенью называют число <math>\gamma = [c_n]</math>, определённое степенью последовательностей <math>\{a_n\}</math> и <math>\{b_n\}</math>:
- <math>\gamma = \alpha ^ \beta {=} [a_n] ^ {[b_n]} = [a_n \widehat{ } b_n]</math>,
вещественное число <math>\gamma = \alpha ^ \beta</math>, удовлетворяет следующему условию:
- <math>
(a' \leqslant \alpha \leqslant a) \land (b' \leqslant \beta \leqslant b) \Rightarrow ({(a')} ^ {b'} \leqslant \alpha ^ \beta \leqslant {(a)} ^ {b}) \Rightarrow ({(a')} ^ {b'} \leqslant \gamma \leqslant {(a)} ^ {b}), EducationBot (обсуждение) \forall ~ a', a, b', b \in \mathbb{Q}, ~\forall \alpha>0 , ~\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}. </math> Таким образом степенью вещественного числа <math>\alpha ^ \beta</math> является такое вещественное число <math>\gamma</math> которое содержится между всеми степенями вида <math>{(a')} ^ {b'}</math> с одной стороны и всеми степенями вида <math>{(a)} ^ {b}</math>с другой стороны.
Степень с основанием, равным нулю, определяют только для положительного вещественного показателя.
- <math>0^{\beta}=0; \quad \beta \in \mathbb{R}, \beta>0.</math>
Для отрицательных <math> \alpha</math> степень с вещественным показателем не рассматривается.
На практике для того, чтобы возвести число <math>\alpha</math> в степень <math>\beta</math>, необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами <math>a</math> и <math>b</math>. За приближенное значение степени <math>\alpha ^ \beta</math> берут степень указанных рациональных чисел <math>a ^ b</math>. При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>.
Пример возведения в степень <math>\gamma=\pi ^ e</math>, с точностью до 3-го знака после запятой:
- Округляем данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений);
- Получаем: <math>\pi\approx 3.1416,\ e \approx 2.7183</math>;
- возводим в степень: <math>\gamma = \pi ^ e \approx 3.1416 ^ {2.7183} \approx 22.4592</math>;
- Округляем до 3-го знака после запятой: <math>\gamma\approx 22.459</math>.
Полезные формулы:
- <math>x^y = a^{y\log_a x}</math>
- <math>x^y = e^{y\ln x}</math>
- <math>x^y = 10^{y\lg x}</math>
Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции <math>x^y</math>, и для приближённого возведения в нецелую степень или для целочисленного возведения в степень, когда числа слишком велики для того, чтобы записать результат полностью.
Комплексная степень
Возведение комплексного числа в натуральную степень выполняется обычным умножением в тригонометрической форме. Результат однозначен:
- <math>z^n = r^n(\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = r^n(\cos n\varphi + i \sin n\varphi); \quad\forall n \in \mathbb{N}, z \in \mathbb{C}, r \in \mathbb{R}</math> , (формула Муавра)[5].
Для нахождения степени произвольного комплексного числа в алгебраической форме <math>a + bi</math> можно воспользоваться формулой бинома Ньютона (справедливой и для комплексных чисел):
- <math>(a+bi)^n=a^n+C_n^1 a^{n-1} bi+C_2^n a^{n-2} b^2 i^2 + ... + C_n^{n-1} ab^{n-1} i^{n-1} + b^n i^n, \quad\forall n \in \mathbb{N}</math> .
Заменяя степени <math>i^k</math> в правой части формулы их значениями в соответствии с равенствами: <math>i^{4k}=1, i^{4k+1}=i, i^{4k+2}=-1, i^{4k+3}= -i, k\in \mathbb{N}</math>, получим:
- <math>(a+bi)^n=\sum_{k=0}^{[n/2]} (-1)^k C_n^{2k} a^{n-2k} b^{2k} + i \sum_{k=0}^{[(n-1)/2]} (-1)^k C_n^{2k+1} a^{n-2k-1} b^{2k+1}.</math>[6]
Основой для более общего определения комплексной степени служит экспонента <math>e^z</math>, где <math>e</math> — число Эйлера, <math>z = x + iy</math> — произвольное комплексное число[7].
Определим комплексную экспоненту с помощью такого же ряда, как и вещественную:
- <math>e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \cdots.</math>
Этот ряд абсолютно сходится для любого комплексного <math>z,</math> поэтому его члены можно как угодно перегруппировывать. В частности, отделим от него часть для <math>e^{iy}</math>:
- <math>e^{iy} = 1 + iy + \frac{(iy)^2}{2!} + \frac{(iy)^3}{3!} + \frac{(iy)^4}{4!} + \cdots = \left(1 - \frac{y^2}{2!} + \frac{y^4}{4!} - \frac{y^6}{6!} + \cdots\right) + i \left(y - \frac{y^3}{3!} + \frac{y^5}{5!} - \cdots\right).</math>
В скобках получились известные из вещественного анализа ряды для косинуса и синуса, и мы получили формулу Эйлера:
- <math>e^z = e^x e^{yi} = e^x(\cos y + i \sin y)</math>
Общий случай <math>a^b</math>, где <math>a, b</math> — комплексные числа, определяется через представление <math>a</math> в показательной форме: <math>a=re^{i (\theta+2\pi k)}</math> согласно определяющей формуле[7]:
- <math>a^b = (e^{\operatorname{Ln}(a)})^b = (e^{\operatorname{ln}(r) + i(\theta+2\pi k)})^b = e^{b(\operatorname{ln}(r) + i(\theta+2\pi k))}.</math>
Здесь <math>\operatorname{Ln}</math> — комплексный логарифм, <math>\ln</math> — его главное значение.
При этом комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно[7]. Неучёт этого обстоятельства может привести к ошибкам. Пример: возведём известное тождество <math>e^{2\pi i}=1</math> в степень <math>i.</math> Слева получится <math>e^{-2\pi},</math> справа, очевидно, 1. В итоге: <math>e^{-2\pi} = 1,</math> что, как легко проверить, неверно. Причина ошибки: возведение в степень <math>i</math> даёт и слева, и справа бесконечное множество значений (при разных <math>k</math>), поэтому правило <math>\left(a^b\right)^c=a^{bc}</math> здесь неприменимо. Аккуратное применение формул определения комплексной степени даёт слева и справа <math>e^{-2\pi k};</math> отсюда видно, что корень ошибки — путаница значений этого выражения при <math>k=0</math> и при <math>k=1.</math>
Степень как функция
Разновидности
Поскольку в выражении <math>x^y</math> используются два символа (<math>x</math> и <math>y</math>), то его можно рассматривать как одну из трёх функций.
- Функция переменной <math>x</math> (при этом <math>y</math> — постоянная-параметр). Такая функция называется степенной. Обратная функция — извлечение корня.
- Функция переменной <math>y</math> (при этом <math>x</math> — постоянная-параметр). Такая функция называется показательной (частный случай — экспонента). Обратная функция — логарифм.
- Функция двух переменных <math>f(x, y) = x^y.</math> Отметим, что в точке <math>(0, 0)</math> эта функция имеет неустранимый разрыв. В самом деле, вдоль положительного направления оси <math>X,</math> где <math>y = 0,</math> она равна единице, а вдоль положительного направления оси <math>Y,</math> где <math>x = 0,</math> она равна нулю.
Ноль в степени ноль
Шаблон:Main Выражение <math>0^0</math> (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла, поскольку, как указано выше, функция <math>f(x, y) = x^y</math> в точке (0, 0) разрывна. Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что это выражение равно 1. В частности, тогда разложение в ряд экспоненты:
- <math>e^x = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} {x^n \over n!}</math>
можно записать короче:
- <math>e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!}.</math>
Следует предостеречь, что соглашение <math>0^0=1</math> чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке.
История
Обозначение
В Европе сначала степень величины записывали словесными сокращениями (q или Q обозначало квадрат, c или C — куб, bq или qq — биквадрат, то есть 4-я степень и т. д.) или как произведение — например, <math>x^4</math> изображалось как <math>xxxx.</math> Отред записывал <math>x^5-15 x^4</math> следующим образом: <math>1qc-15qq</math> (если неизвестная всего одна, ей часто не присваивался буквенный значок)Шаблон:Sfn. Немецкая школа коссистов для каждой степени неизвестной предлагала особый готический значок.
В XVII веке постепенно стала преобладать идея явно указывать показатель степени. Жирар (1629 год) для возведения в степень числа ставил показатель в круглых скобках перед этим числом, а если числа правее показателя не было, то это значило, что подразумевается наличие неизвестного в указанной степениШаблон:Sfn; например, <math>(2)2+1(2)</math> у него означало <math>2^2+x^2</math>. Варианты размещения показателя степени предлагали Пьер Эригон и шотландский математик Джеймс Юм, они записывали <math>x^4</math> в виде <math>x4</math> и <math>x^{IV}</math> соответственноШаблон:Sfn.
Современная запись показателя степени — правее и выше основания — введена Декартом в его «Геометрии» (1637), правда, только для натуральных степеней, больших 2 (возведение в квадрат ещё долгое время обозначалось по-старому, произведением). Позднее Валлис и Ньютон (1676) распространили декартову форму записи степени на отрицательные и дробные показатели, трактовка которых к этому времени уже была известна из трудов Орема, Шюке, Стевина, Жирара и самого Валлиса. К началу XVIII столетия альтернативы для записи степеней «по Декарту», как выразился Ньютон в «Универсальной арифметике», «вышли из моды» (out of fashion). Показательная функция, то есть возведение в переменную степень, появилась сначала в письмах, а потом и в трудах Лейбница (1679). Возведение в мнимую степень обосновал Эйлер (1743)[8]Шаблон:Sfn.
Запись возведения в степень в языках программирования
С появлением компьютеров и компьютерных программ возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень в «двухэтажном» виде. В связи с этим изобрели особые значки для обозначения операции возведения в степень. Первым таким значком были две звёздочки: «**
», используемые в языке Фортран. В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки: «↑
» (стрелки Кну́та). В языке Бейсик предложен символ «^
» («циркумфлекс», он же «карет»), который приобрёл наибольшую популярность; его часто используют при написании формул и математических выражений не только в языках программирования и компьютерных системах, но и в простом тексте. Примеры:
3^2 = 9
;5^2 = 25
;2^3 = 8
;5^3 = 125
.
Иногда в компьютерных системах и языках программирования значок возведения в степень имеет левую ассоциативность, в отличие от принятого в математике соглашения о правой ассоциативности возведения в степень.
То есть некоторые языки программирования (например, программа Excel) могут воспринимать запись a^b^c
, как (a^b)^c
, тогда как другие системы и языки (например, Haskell, Perl, Wolfram|Alpha и многие другие) обработают эту запись справа налево: a^(b^c)
, как это принято в математике: <math>a^{b^c} = a^\left(b^c\right)</math>.
Некоторые знаки возведения в степень в языках программирования и компьютерных системах:
x ↑ y
: Алгол, некоторые диалекты Бейсика;x ^ y
: Бейсик, J, MATLAB, R, Microsoft Excel, TeX, bc[К 2], Haskell[К 3], Lua, MathML и большинство систем компьютерной алгебры;x ^^ y
: Haskell[К 4], D;x ** y
: Ада, Bash, Кобол, Фортран, FoxPro, Gnuplot, OCaml, Perl, PL/I, PHP[К 5], Python, REXX, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Haskell[К 6], Шаблон:Iw, VHDL, ECMAScript[К 7][К 8], AutoHotkey[К 8], JavaScript;x⋆y
: APL.
Во многих языках программирования (например, в Java, Си и Паскале) отсутствует операция возведения в степень, и для этой цели используют стандартные функции.
Вариации и обобщения
Возведение в степень с натуральным показателем можно определить не только для чисел, но и для нечисловых объектов, для которых определено умножение — например, к матрицам, линейным операторам, множествам (относительно декартова произведения, см. декартова степень).
Обычно эта операция рассматривается в некотором мультипликативном моноиде <math>M</math> (полугруппе с единицей) и определяется индуктивно[9] для любого <math>x\in M</math>:
- <math>x^0 = e</math> (где <math>e</math> — единица моноида).
- <math>x^{n+1} = x^n x</math>, где <math>n\geqslant 0</math>
- Если <math>n < 0,</math> то <math>x^n</math> определён только для обратимых элементов <math>x.</math>
Особенную ценность представляет применение возведения в степень к группам и полям, где возникает прямой аналог отрицательных степеней.
Гипероператор возведения в степень — тетрация.
Примечания
- Комментарии
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 стр.
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
Ссылки
- ↑ 1,0 1,1 Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокVYG182
не указан текст - ↑ Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида <math>\{x: \alpha < x < \beta\}</math>
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ 7,0 7,1 7,2 Шаблон:Книга
- ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокAL130
не указан текст - ↑ Шаблон:Книга
Ошибка цитирования Для существующих тегов <ref>
группы «К» не найдено соответствующего тега <references group="К"/>
- Русская Википедия
- Страницы с неработающими файловыми ссылками
- Математические операции
- Элементарные функции
- Бинарные операции
- Элементарная алгебра
- Страницы, где используется шаблон "Навигационная таблица/Телепорт"
- Страницы с телепортом
- Википедия
- Статья из Википедии
- Статья из Русской Википедии
- Страницы с ошибками в примечаниях