Русская Википедия:Возвратное состояние

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Возвра́тное состоя́ние — это состояние марковской цепи, посещаемое ею бесконечное число раз.

Определение

Пусть дана однородная цепь Маркова с дискретным временем <math>\{X_n\}_{n \ge 0}</math>. Пусть

<math>f_{ii}^{(n)} = \mathbb{P}(X_n = i,\; X_k \not= i, \, k=1,\ldots, n-1 \mid X_0 = i )</math>

— вероятность, выйдя из состояния <math>i</math>, вернуться в него ровно за <math>n</math> шагов. Тогда

<math> f_{ii} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_{ii}^{(n)}</math>

— вероятность, выйдя из состояния <math>i</math>, вернуться в него (за конечное или бесконечное время).

Состояние <math>i</math> называется возвра́тным (рекурре́нтным), если <math>f_{ii} = 1</math>. В противном случае состояние называется невозвра́тным (транзие́нтным).

Критерий возвратности

Состояние <math>i</math> является возвратным тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих условий:

1. <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty} p_{ii}^{(n)} = \infty</math>, где <math>p_{ii}^{(n)} = \mathbb{P}(X_n = i \mid X_0 = i)</math>.
2. <math>\mathbb{P}\left( \limsup\limits_{n \to \infty} \{X_n = i\}\mid X_0 = i \right) = 1</math>.

Соответственно, состояние <math>i</math> невозвратно тогда и только тогда, когда выполнено любое из условий:

1. <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty} p_{ii}^{(n)} < \infty</math> .
2. <math>\mathbb{P}\left( \limsup\limits_{n \to \infty} \{X_n = i\}\mid X_0 = i \right) = 0</math>.

Время возвращения

Предположим, что <math>X_0 = i</math> почти всюду, и определим случайную величину <math>T_i</math>, равную времени первого возвращения в состояние <math>i</math>, то есть

<math>T_i = \inf\{n \ge 1 \mid X_n = i \}</math>.

Тогда <math>T_i</math> имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности

<math>\mathbb{P}(T_i = n) = f_{ii}^{(n)}</math>.

Возвратное состояние <math>i</math> называется положи́тельным, если

<math> \mathbb{E}[T_i] = \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f^{(n)}_{ii} < \infty</math>,

и нулевы́м, если

<math> \mathbb{E}[T_i] = \infty</math>.

Возвратность неразложимого класса

• Если состояния <math>i</math> и <math>j</math> сообщаются, и <math>i</math> — возвратно, то состояние <math>j</math> также возвратно.
• Более того если состояние <math>i</math> положительно, то и состояние <math>j</math> также положительно.

Таким образом возвратность и положительность — свойство неразложимого класса. Если Марковская цепь неразложима, то говорят о её возвратности и положительности.

Примечания

Шаблон:Rq Шаблон:Состояния цепи Маркова