Русская Википедия:Возвратное уравнение
Возвратное уравнение — алгебраическое уравнение от одной переменной вида
- <math>\sum_{k=0}^n(a_kx^k(x^{2n-2k+1} + \lambda^{2n-2k+1})) = 0 \Leftrightarrow a_0x^{2n+1}+a_1x^{2n}+a_2x^{2n-1}+\dots</math>
- <math>\dots+a_{n-1}x^{n+2}+a_nx^{n+1}+\lambda^1 a_nx^n+\lambda^3 a_{n-1}x^{n-1}+\lambda^5 a_{n-2}x^{n-2}+\dots</math>
- <math>\dots+\lambda^{2n-3} a_2x^2+\lambda^{2n-1} a_1x+\lambda^{2n+1}a_0 = 0</math>
для нечётной степени <math>2n+1</math> и
- <math>\sum_{k=0}^n(a_{n-k}(x^{n+k}+x^{n-k}\lambda^k)) = 0 \Leftrightarrow a_0x^{2n}+a_1x^{2n-1}+a_2x^{2n-2}+\dots</math>
- <math>\dots+a_{n-1}x^{n+1}+a_nx^{n}+\lambda^1 a_{n-1}x^{n-1}+\lambda^2 a_{n-2}x^{n-2}+\lambda^3 a_{n-3}x^{n-3}+\dots</math>
- <math>\dots+\lambda^{n-2} a_2x^2+\lambda^{n-1} a_1x+\lambda^n a_0 = 0</math>
для чётной степени <math>2n</math>, где <math>a_0\neq 0</math>. Возвратным многочленом называется многочлен, приравнивающийся к нулю в возвратном уравнении[1].
Альтернативный способ определения
Многочлен <math>\sum\limits_{k=0}^{2n+1}(a_kx^k) =</math> <math> a_{2n+1}x^{2n+1}+\dots+a_2x^2+a_1x^1+a_0</math> нечётной степени <math>2n+1</math> называется возвратным, если для некоторого <math>\lambda\neq0</math> равенство <math>\frac{a_k}{a_{(2n+1)-k}}=\lambda^{2(n-k)+1}</math> верно при любом <math>k</math>.
Многочлен <math>\sum\limits_{k=0}^{2n}(a_kx^k) =</math> <math> a_{2n}x^{2n}+\dots+a_2x^2+a_1x^1+a_0</math> чётной степени <math>2n</math> называется возвратным, если для некоторого <math>\lambda\neq0</math> равенство <math>\frac{a_k}{a_{(2n)-k}}=\lambda^{(n-k)}</math> верно при любом <math>k</math>.
Частные случаи
- В случае, если <math>\lambda=1</math>, то есть последовательность коэффициентов возвратного многочлена симметрична (является палиндромом), уравнение называется симметрическим или симметричным. Если речь идёт о многочлене, участвующем в уравнении, он называется симметричным (не путать с симметрическим многочленом)[1].
Понижение степени и нахождение корней
Любой возвратный многочлен <math>\sum_{k=0}^n(a_kx^k(x^{2n-2k+1} + \lambda^{2n-2k+1}))</math> нечётной степени <math>2n+1</math> имеет корень <math>-\lambda</math> и представляется в виде произведения линейного многочлена <math>(x+\lambda)</math> и многочлена <math>\sum_{k=0}^n\Big(a_kx^k\Big(\frac{x^{2n-2k+1} + \lambda^{2n-2k+1}}{x+\lambda}\Big)\Big) =</math> <math> \sum_{k=0}^n\Big(a_kx^k\sum\limits_{t=0}^{2n-2k}((-1)^tx^t \lambda^{2n-2k-t})\Big)</math>, имеющего чётную степень <math>2n</math> и являющегося возвратным.
Шаблон:Hider{a_k(-1)^{(2n-t)-k} \lambda^{2n-k-(2n-t)}} = (-1)^{(t-k) - ((2n-t)-k)}\lambda^{(2n-k-t) - (2n-k-(2n-t))} =</math> <math> (-1)^{2(t-n)}\lambda^{2(n-t)} =</math> <math> \lambda^{2(n-t)}</math>, следовательно, отношение суммарных коэффициентов при <math>x^t</math> и <math>x^{2n-t}</math> равно тому же числу <math>\lambda^{2(n-t)}</math>, а значит, по указанному выше альтернативному определению наш многочлен является возвратным, а число, роль которого в изначальном многочлене нечётной степени играла <math>\lambda</math>, здесь играет <math>\lambda^2</math>.}}
Рассмотрим теперь возвратный многочлен <math>\sum_{k=0}^n(a_{n-k}(x^{n+k}+x^{n-k}\lambda^k))</math> чётной степени <math>2n</math>. По определению возвратного многочлена <math>a_0\lambda^n\neq0</math>, следовательно, ноль не является его корнем и его можно переписать в виде <math>x^n\sum_{k=0}^n\Big(a_{n-k}\Big(x^{k}+\Big(\frac{\lambda}{x}\Big)^k\Big)\Big)</math>, где сумму <math>\sum_{k=0}^n\Big(a_{n-k}\Big(x^{k}+\Big(\frac{\lambda}{x}\Big)^k\Big)\Big)</math> можно переписать в виде многочлена относительно <math>t=\Big(x+\frac{\lambda}{x}\Big)</math> степени <math>n</math>.
Найдя все корни <math>t_i</math> полученного уравнения и решив все уравнения вида <math>t_i=x+\frac{\lambda}{x}</math> относительно <math>x</math>, получаем корни изначального возвратного уравнения <math>x_{2i-1,\; 2i} = \frac{t_i\pm \sqrt{t_i^2-4\lambda}}{2}</math>.
Разрешимость в радикалах
Как было показано выше, возвратные уравнения степеней <math>2n</math> и <math>2n+1</math> сводятся к решению уравений степени <math>n</math>, которые разрешимы в радикалах вплоть до <math>n=4</math> по теореме Абеля-Руффини. При этом выражение <math>\Big(t_i\pm \sqrt{t_i^2-4\lambda}\Big)/2</math>, позволяющее получить корни возвратного уравнения (кроме <math>(-\lambda)</math> для нечётной степени) через корни полученного выше уравнения степени <math>n</math> относительно <math>t</math>, является алгебраическим. Следовательно, возвратные уравнения, сводящиеся к уравнениям относительно <math>t</math> степени не более <math>4</math>, разрешимы в радикалах, а к таким возвратным уравнениям относятся те, чья степень не превышает <math>9</math>.
Примечания
Ссылки
