Русская Википедия:Волновое уравнение

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Волновое уравнение в физике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики.

Вид уравнения

В многомерном случае однородное волновое уравнение записывается в виде

<math>\Delta u=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}</math>,

где <math>\Delta</math> — оператор Лапласа, <math>u=u(x,t)</math> — неизвестная функция, <math>t\in \mathbb R</math> — время, <math>x\in \mathbb R^n</math> — пространственная переменная, <math>v</math> — фазовая скорость.

Шаблон:Скрытый

В одномерном случае уравнение называется также уравнением колебания струны или уравнением продольных колебаний стержня и записывается в виде

<math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}</math>.

Данное уравнение можно трактовать следующим образом. Вторая производная координаты по времени — сила (второй закон Ньютона) — пропорциональна кривизне струны (вторая производная по координате). Иными словами, чем выше кривизна "горбов" на струне, тем большая сила действует на данный участок струны.

Оператор Д’Аламбера

Разность <math>\Delta - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}</math> называется оператором Д’Аламбера и обозначается как <math>\square</math> (разные источники используют разный знак). Таким образом, с использованием оператора Д’Аламбера (даламбертиана) однородное волновое уравнение записывается как

<math>\square u = 0</math>

Неоднородное уравнение

Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение

<math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=v^2\Delta u + f</math>,

где <math>f = f(x,t)</math> — некая заданная функция внешнего воздействия (внешней силы).

Стационарным вариантом волнового уравнения является уравнение Лапласа (уравнение Пуассона в неоднородном случае).

Задача нахождения нормальных колебаний системы, описываемой волновым уравнением, приводит к задаче на собственные значения для уравнения Лапласа, то есть к нахождению решений уравнения Гельмгольца, получающегося подстановкой

<math> u(x,t) = v(x) e^{i\omega t}\ </math> или <math> u(x,t) = v(x)\, \mathop{\rm cos}\,(\omega t)\ </math>.

Решение волнового уравнения

Шаблон:Main Существует аналитическое решение гиперболического уравнения в частных производных. В евклидовом пространстве произвольной размерности оно называется формулой Кирхгофа. Частные случаи: для колебания струны (<math>\mathbb{R}^1</math>) — формула Д’Аламбера, для колебания мембраны (<math>\mathbb{R}^2</math>) — формула Пуассона.

Формула Д'Аламбера

Решение одномерного волнового уравнения (здесь <math> v = a </math> — фазовая скорость)

<math>u_{tt}=a^2 u_{xx} + f(x,t)\quad</math> (функция <math>f(x,t)</math> соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

<math>u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x)</math>

имеет вид

<math>u(x,t)=\frac{\varphi(x+at)+\varphi(x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\int\limits^{x+at}_{x-at}{\psi(\alpha)d \alpha}+\frac{1}{2a}\int\limits^t_0\int\limits^{x+a(t-\tau)}_{x-a(t-\tau)} f(s, \tau)ds d\tau</math>

Интересно заметить, что решение однородной задачи

<math>u_{tt}=a^2 u_{xx}</math>,

имеющее следующий вид:

<math>u(x,t)=\frac{\varphi(x+at)+\varphi(x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\int\limits^{x+at}_{x-at}{\psi(\alpha)d \alpha}</math>,

может быть представлено в виде

<math>u(x,t)= f_1(x+at) + f_2(x-at)</math>,

где

<math> f_1(x)= \frac{\varphi(x)}{2} + \frac{1}{2a}\int\limits^{x}_{0}{\psi(\alpha)d \alpha} </math>

<math> f_2(x)= \frac{\varphi(x)}{2} + \frac{1}{2a}\int\limits^{0}_{x}{\psi(\alpha)d \alpha} </math>

В таком случае говорят, что решение представлено в виде суммы бегущих волн, а функции <math>f_1(x)</math> и <math>f_2(x)</math> — это профили волн, бегущих, соответственно, влево и вправо. В рассматриваемом случае профили волн со временем не изменяются.

В многомерном случае решение задачи Коши также может быть разложено в бегущие волны, однако уже не в сумму, а в интеграл, поскольку направлений становится бесконечно много. Это делается элементарно при помощи преобразования Фурье

Задача на полупрямой

Рассмотрим однородное уравнение колебаний на полупрямой <math>[0; +\infty)</math>

<math>u_{tt} = a^2 u_{xx} </math>

с закрепленным концом:

<math>u(0,t) = 0 </math>

и начальными условиями

<math>u(x,0)=\varphi(x),\qquad u_t(x,0)=\psi(x)</math>

для того, чтобы задача имела решение, необходима согласованность начальных условий и граничного условия, а именно:

<math>\varphi(0) = 0,\qquad \psi(0) = 0</math>

Задача на полупрямой легко сводится к задаче на прямой после того, как мы антисимметрично продолжим начальные условия:

<math>\varphi(-x)=-\varphi(x),\qquad \psi(-x)=-\psi(x) \qquad \forall x \in [0, +\infty)</math>

В силу того, что начальные условия <math>\varphi(x), \psi(x)</math> — нечётные функции, логично ожидать, что и решение <math>u(x,t)</math> будет нечётной функцией. В этом можно непосредственно убедиться, рассмотрев решение в виде формулы Д’Аламбера. Поэтому полученное решение u(x, t) будет удовлетворять начальным условиям и граничному условию <math>u(0,t) = 0 </math> (последнее следует из нечётности функции).

Показанный приём широко используется (не только для волнового уравнения) и называется метод отражения. Например, можно рассмотреть волновое уравнение на полупрямой, но с граничным условием второго рода на конце <math>x = 0</math>:

<math>u_x(0,t)=0</math>.

Физически условие означает, что левый конец стержня (если рассматривать систему как продольные колебания стержня) свободен, то есть на него не действует никакая сила.

Методы решения в ограниченной одномерной области

Метод отражений

Рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке <math>[0,a]</math>

<math>u_{tt}=a^2 u_{xx} </math>

с однородными граничными условиями первого рода (то есть при закрепленных концах)

<math>u(0,t)=0 \qquad u(a,t)=0</math>

и начальными условиями

<math>u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x) \qquad \forall x \in [0, a]</math>

При помощи метода отражения задача может быть снова сведена к задаче на прямой. В данном случае потребуется бесконечное число отражений, в итоге продолженные начальные условия будут определяться таким образом:

<math>\varphi(2na + x) = \varphi(x) \qquad \psi(2na + x) = \psi(x) \qquad \forall x \in [0,a] \quad \forall n \in Z</math>

<math>\varphi(2na - x) = - \varphi(x) \qquad \psi(2na - x) = -\psi(x) \qquad \forall x \in [0,a] \quad \forall n \in Z</math>

При рассмотрении неоднородного волнового уравнения:

<math>u_{tt}=a^2 u_{xx} + f(x,t)</math>

используются ровно те же соображения, и функция <math>f(x,t)</math> продолжается таким же образом.

Метод Фурье

Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке <math>[0,l]</math>

<math>u_{tt}=a^2 u_{xx} </math>

с однородными граничными условиями первого рода

<math>u(0,t)=0 \qquad u(l,t)=0</math>

и начальными условиями

<math>u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x) \qquad \forall x \in [0, l]</math>

Метод Фурье основывается на представлении решения в виде (бесконечной) линейной комбинации простых решений задачи вида

<math>X(x)T(t)</math>, где обе функции зависят только от одной переменной.

Отсюда другое название метода — метод разделения переменных.

Нетрудно показать, что для того, чтобы функция <math>u(x,t)=X(x)T(t)</math> была решением уравнения колебаний и удовлетворяла граничным условиям, необходимо, чтобы выполнялись условия

<math>X(0) = 0 \qquad X(l) = 0</math>

<math> a^2 X(x) = - \lambda X(x) </math>

<math> T(t) = - \lambda T(t) </math>

Решение задачи Штурма-Лиувилля на <math>X(x)</math> приводит к ответу:

<math>X_n(x) = \sin \left( \frac{\pi n x}{l} \right) \qquad n \in \mathbf{N}</math>

и их собственным значениям <math>\lambda_n = \left(\frac {\pi n a}{l}\right)^2</math>

Соответствующие им функции <math>T</math> выглядят как

<math>T_n(t) = \alpha_n \sin ( \sqrt \lambda_n t ) + \beta_n \cos ( \sqrt \lambda_n t ). </math>

Таким образом, их линейная комбинация (при условии, что ряд сходится) является решением смешанной задачи

<math>u(x,t) = \sum_{n=1}^{+\infty} X_n(x)T_n(t)

= \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \alpha_n \sin ( \sqrt \lambda_n t ) + \beta_n \cos ( \sqrt \lambda_n t ) \right) \sin \frac{\pi n x}{l}. </math>

Разложив функции <math>\varphi(x), \psi(x)</math> в ряд Фурье, можно получить коэффициенты <math>\alpha_n, \beta_n </math>, при которых решение будет обладать такими начальными условиями.

Метод учёта волн

Файл:Wave equation 1D fixed endpoints.gif

Импульс, отражающийся от закрепленных граничных концов, упругие колебания моделируются волновым уравнением

Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке <math>[0,a]</math>

<math>u_{tt}= u_{xx}, </math>

однако на сей раз положим однородные начальные условия

<math>u(x,0) \equiv 0,\quad u_t(x,0) \equiv 0 \qquad \forall x \in [0, a]</math>

и неоднородные граничные. Например, будем считать, что задана зависимость положения концов стержня от времени (граничное условие первого рода)

<math>u(0,t)=\mu(t) \qquad u(a,t)=\nu(t)</math>

Решение записывается в виде

<math>u(x,t)= \sum_{k=0}^{+\infty} \biggl[ \mu(t - x - 2ka) - \mu(t + x - (2k+2)a) \biggr] + \sum_{k=0}^{+\infty} \biggl[ \nu(t + x - (2k+1)a) - \nu(t - x - (2k+1)a) \biggr]</math>

В том, что оно удовлетворяет уравнению и начально-краевым условиям, можно убедиться непосредственно. Интересна интерпретация: каждое слагаемое в решении соответствует некоторому отражению одной из граничных волн. Например, левое граничное условие порождает волну вида

<math> \mu(t-x), </math>

которая, добегая за время а до правого конца, отражается и даёт вклад

<math> \mu(t+x-2a), </math>

через время а снова отражается и дает вклад

<math> \mu(t-x-2a), </math>

Этот процесс продолжается бесконечно долго, суммируя вклады всех волн и получаем указанное решение. Если нас интересует решение на промежутке <math>[0,T]</math>, то мы можем ограничиться лишь первыми <math> \lceil T / a \rceil</math> слагаемыми.

Уравнение плоской электромагнитной волны

Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме:

<math>\operatorname{rot}\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} </math>

<math>\operatorname{rot}\mathbf H=\mathbf{j}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}</math>

<math>\operatorname{div}\mathbf B=0 </math>

<math>\operatorname{div}\mathbf D=\rho</math>

<math>\mathbf{B}=\mu\mu_0\mathbf{H}</math>

<math>\mathbf{D}=\varepsilon\varepsilon_0\mathbf{E}</math>

<math>\mathbf{E}</math> — вектор напряженности электрического поля

<math>\mathbf{H}</math> — вектор напряженности магнитного поля

<math>\mathbf{B}</math> — вектор магнитной индукции

<math>\mathbf{D}</math> — вектор электрической индукции

<math>\mu</math> — магнитная проницаемость

<math>\mu_0</math> — магнитная постоянная

<math>\varepsilon</math> — электрическая проницаемость

<math>\varepsilon_0</math> — электрическая постоянная

<math>\mathbf{j}</math> — плотность тока

<math>\rho</math> — плотность заряда

<math>\operatorname{rot}</math> — ротор, дифференциальный оператор, <math>\operatorname{rot}\mathbf E= \mathbf{\nabla}\times\mathbf E=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ E_x & E_y & E_z \end{vmatrix}= \left(\frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z}\right) \mathbf i+ \left(\frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x}\right) \mathbf j+ \left(\frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y}\right) \mathbf k </math>

<math>\operatorname{div} </math> - дивергенция, дифференциальный, <math>\operatorname{div}\mathbf{E}=\nabla \cdot \mathbf E= \frac{\partial E_x}{\partial x} +\frac{\partial E_y}{\partial y} +\frac{\partial E_z}{\partial z} </math>

<math>\Delta </math> - оператор Лапласа, <math>\Delta \mathbf{E} =\Delta E_x \mathbf i + \Delta E_y \mathbf j +\Delta E_z \mathbf k </math> , <math>\Delta = \frac{\partial^2 }{\partial x^2} +\frac{\partial^2 }{\partial y^2} +\frac{\partial^2 }{\partial z^2} </math>

Для электромагнитной волны <math>\mathbf{j}=0</math>, <math>\rho=0</math> , поэтому:

<math>\operatorname{rot}\mathbf H=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}</math>

<math>\operatorname{div}\mathbf D=\varepsilon\varepsilon_0\operatorname{div}\mathbf E=0</math>

Согласно свойству ротора векторного поля <math>\operatorname{rot}\operatorname{rot}\mathbf E=\mathbf{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\mathbf E)-\Delta E</math>. Подставив сюда <math>\operatorname{rot}\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} </math> и <math>\operatorname{div}\mathbf E=0</math> , получим:

<math>\operatorname{rot}\left( -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\right) =-\Delta \mathbf{E}</math>

<math>\Delta \mathbf{E} =\operatorname{rot}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}</math>

<math>\Delta \mathbf{E} =\frac{\partial}{\partial t}\operatorname{rot}\mathbf{B}</math>

<math>\Delta \mathbf{E} =\mu\mu_0\frac{\partial}{\partial t}\operatorname{rot}\mathbf{H}</math> подставляем сюда из уравнений Максвелла <math>\operatorname{rot}\mathbf H=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}</math> , получаем:

<math>\Delta \mathbf{E} =\mu\mu_0\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\right)</math>

<math>\Delta \mathbf{E} =\mu\mu_0{\partial^2 \mathbf{D} \over \partial t^2} </math>

<math>\Delta \mathbf{E} =\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0{\partial^2 \mathbf{E} \over \partial t^2} </math>

<math>c=1/\sqrt{\mu\mu_0\epsilon\epsilon_0} </math>

<math>\Delta E_x \mathbf i + \Delta E_y \mathbf j +\Delta E_z \mathbf k = \frac{1}{c^2} {\partial^2 \over \partial t^2} (E_x \mathbf{i} + E_y \mathbf{j} + E_z \mathbf{k}) </math>

Вектор <math>\mathbf{E}</math> колеблется в плоскости <math>XY </math> перпендикулярно оси <math>X </math>, поэтому <math>E_x=E_z=0 </math>.

<math>\Delta E_y = \frac{1}{c^2} {\partial^2 E_y \over \partial t^2} </math>

<math>\frac{\partial^2 E_y }{\partial x^2} +\frac{\partial^2 E_y }{\partial y^2} +\frac{\partial^2 E_y }{\partial z^2}=\frac{1}{c^2} {\partial^2 E_y \over \partial t^2} </math>

Волна распространяется вдоль оси <math>X </math>, поэтому <math>\mathbf E</math> не зависит от координат <math>y</math> и <math>z</math>:

<math>\frac{\partial^2 E_y }{\partial x^2}= \frac{1}{c^2} {\partial^2 E_y \over \partial t^2} </math>

Аналогичное выражение можно получить для <math>\mathbf{H}</math> :

<math>\frac{\partial^2 H_z }{\partial x^2}= \frac{1}{c^2} {\partial^2 H_z \over \partial t^2} </math>

<math>\begin{cases} \frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}= \frac{1}{c^2} ({\partial^2 E_y \over \partial t^2}) \\ \frac{\partial^2 H_z}{\partial x^2}= \frac{1}{c^2} ({\partial^2 H_z \over \partial t^2}) \end{cases} </math> (1)

Простейшим решением этих уравнений будут функции:

<math>E_y=E_m \cos(\omega t - kx) </math> (2)

<math>H_z=H_m \cos(\omega t - kx) </math>

<math>k</math> - волновое число. Найдем его, подставив уравнение (2) в первое уравнение (1):

<math>E_m k^2 \cos(\omega t - kx) = \frac{1}{c^2} E_m \omega^2 \cos(\omega t - kx) </math>

Отсюда находим, что <math>k=\frac{\omega}{c} </math>

Отношение амплитуд электрической и магнитной составляющей электромагнитной волны

<math>\operatorname{rot}\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} = -\mu \mu_0 \frac{\partial\mathbf{H}}{\partial t} </math>

<math>\left(\frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z}\right) \mathbf i+ \left(\frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x}\right) \mathbf j+ \left(\frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y}\right) \mathbf k = -\mu \mu_0 \frac{\partial}{\partial t}(H_x \mathbf i + H_y \mathbf j + H_z \mathbf k) </math>

Волна движется вдоль оси <math> X </math>, поэтому производные по <math>\partial x </math> и <math>\partial z </math> равны нулю.

<math>\mathbf{E} </math> распространяется в плоскости <math>XY </math> перпендикулярно <math>X </math> поэтому <math>E_x=E_z=0 </math>

<math>\mathbf{H} </math> распространяется в плоскости <math>XZ </math> перпендикулярно <math>X </math> поэтому <math>H_x=H_y=0 </math>

<math> \frac{\partial E_y}{\partial x} = -\mu \mu_0 \frac{\partial H_z}{\partial t} </math>

<math>\operatorname{rot}\mathbf H=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} = \varepsilon\varepsilon_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}</math>

<math>\left(\frac{\partial H_z}{\partial y} - \frac{\partial H_y}{\partial z}\right) \mathbf i+ \left(\frac{\partial H_x}{\partial z} - \frac{\partial H_z}{\partial x}\right) \mathbf j+ \left(\frac{\partial H_y}{\partial x} - \frac{\partial H_x}{\partial y}\right) \mathbf k = \varepsilon\varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}(E_x \mathbf i + E_y \mathbf j + E_z \mathbf k) </math>

<math> \frac{\partial H_z}{\partial x} = -\varepsilon\varepsilon_0 \frac{\partial E_y}{\partial t} </math>

Получилось два уравнения:

<math> \frac{\partial E_y}{\partial x} = -\mu \mu_0 \frac{\partial H_z}{\partial t} </math>

<math> \frac{\partial H_z}{\partial x} = -\varepsilon\varepsilon_0 \frac{\partial E_y}{\partial t} </math>

Подставим в них решение:

<math>E_y=E_m \cos(\omega t - kx) </math>

<math>H_z=H_m \cos(\omega t - kx) </math>

Получим:

<math>E_m k\sin(\omega t - kx) = \mu \mu_0 H_m \omega\sin(\omega t - kx) </math>

<math>H_m k\sin(\omega t - kx) =\varepsilon\varepsilon_0 E_m \omega\sin(\omega t - kx) </math>

<math>E_m k = \mu \mu_0 H_m \omega </math>

<math>\varepsilon\varepsilon_0 E_m \omega = H_m k </math>

Умножим одно на другое:

<math>\varepsilon\varepsilon_0 E_m^2 k \omega = \mu \mu_0 H_m^2 k \omega </math>

<math>\frac{E_m}{H_m} =\sqrt {\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} =

\sqrt {\frac {\mu_0}{\varepsilon_0}}

\sqrt { (4\pi 10^{-7})(4 \pi c^2 10^7)}= \sqrt { (4\pi 10^{-7})(4 \pi 9\cdot10^{16} 10^{-7})}= \sqrt { (4\pi )(4 \pi 900)}=120\pi\approx377 </math>

См. также

• Спор о струне
• Уравнение Гельмгольца
• Уравнение Лапласа
• Уравнение Клейна — Гордона — Фока
• Волновое уравнение в случайно неоднородной среде
• Формула Кирхгофа
• Специальная теория относительности

Ссылки

• Шаблон:БСЭ3
• Шаблон:Книга
• И.В.Савельев "Курс общей физики" том II
• В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984