Русская Википедия:Волновое число
Шаблон:Физическая величина Волново́е число́ — быстрота роста фазы волны <math>\varphi</math> по координате в пространстве[1]:
- <math>k = \frac{d \varphi}{ dx}</math>.
Может вычисляться как отношение <math>2\pi</math> радиан к длине волны:
- <math>k = \frac{2\pi}{\lambda}</math>.
Обозначение «<math>k</math>» является наиболее стандартным[2]. Измеряется в рад·м−1, физическая размерность м−1 (в системе СГС: см−1).
Волновое число используется в физике, математике[3] (преобразование Фурье) и таких приложениях как обработка изображений. Выступает пространственным аналогом угловой частоты[4] <math>\omega = 2\pi/T</math> (<math>T</math> — период).
В одномерном случае волновому числу обычно приписывают знак плюс (минус), если волна распространяется в положительном (отрицательном) направлении оси <math>x</math>. В многомерном случае <math>k</math> — это обычно синоним абсолютной величины волнового вектора или его компонент (несколько волновых чисел по количеству осей координат), также может быть проекцией волнового вектора на некоторое определённое выбранное направление.
В большинстве случаев волновое число имеет смысл только применительно к монохроматической волне (строго монохроматической или, по крайней мере, почти монохроматической), поэтому производную в определении можно (для этих самых распространённых случаев) заменить выражением с конечными разностями:
- <math>k = \frac{\Delta \varphi}{ \Delta x}</math>.
Исходя из этого, можно получить разные практически удобные формулировки понятия:
- волновое число есть разность фазы волны (в радианах) в один и тот же момент времени в пространственных точках на расстоянии единицы длины (одного метра);
- волновое число есть количество пространственных периодов (горбов) волны, приходящееся на <math>2\pi</math> метров;
- волновое число равно числу радиан волны на отрезке в 1 метр.
Смежной с волновым числом величиной является так называемая пространственная частота — количество периодов колебаний в пространстве на единицу длины (равное <math>1/\lambda</math>)[5][6]. В спектроскопии пространственную частоту саму нередко именуют волновым числом и измеряют в см−1. Такое определение отличается от обычного отсутствием множителя <math>2\pi</math>.
Основные соотношения
Имеет место цепочка равенств:
- <math>k \equiv \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi\nu}{v_{\varphi}}=\frac{\omega}{v_{\varphi}}</math>,
где <math>\lambda</math> — длина волны, <math>\nu</math> (греческая буква «ню») — частота, <math>v_{\varphi}</math> — фазовая скорость волны, <math>\omega</math> — угловая частота.
Для фазы монохроматической бегущей волны можно записать:
- <math>\varphi = k x - \omega t</math>,
а для самой волны:
- <math>u(x,t) = {\rm const}\cdot \mathrm{cos}(k x - \omega t + \varphi_0)</math>
или в комплексном виде:
- <math>u(x,t) = {\rm const}\cdot e^{i(k x - \omega t)}</math>,
здесь <math>\varphi_0</math> может быть спрятано в <math>{\rm const}</math>,
Для монохроматической стоячей волны:
- <math>u(x,t) = {\rm const}\cdot \mathrm{cos}(k\cdot (x-x_0)) \mathrm{cos}(\omega\cdot (t-t_0))</math>.
Замечания
Волновое число точно определено для монохроматической волны. К волнам другого вида волновое число относится через понятие спектра (а конкретнее, через преобразования Фурье), то есть немонохроматическая волна, вообще говоря, содержит в разных пропорциях монохроматические компоненты с разными волновыми числами; впрочем, почти монохроматические волны могут приближённо быть описаны как волны с определённым волновым числом (их спектр в основном сосредоточен вблизи одного значения волнового числа).
Иногда, например, в квазигеометрическом (квазиклассическом) приближении, можно рассматривать волновое число (волновой вектор) как медленно меняющийся в пространстве, то есть волну не как монохроматическую, а как квазимонохроматическую. В этом случае, естественно, лучше использовать определение волнового числа (волнового вектора) с производной, а не с конечными разностями.
В сущности, единственный физически осмысленный случай, когда волновое число (волновой вектор) может меняться с <math>x</math>, даже относительно быстро, — это случай формализма интеграла по траекториям. В этом случае в теории для описания волны присутствуют волны весьма специального вида:
- <math>u(x,t) = e^{i\int(k dx - \omega dt)}</math>.
для которых упомянутое вполне корректно и осмысленно.
Волновое число в квантовой физике
В квантовой физике волновое число связывается с компонентой импульса по данному направлению:
- <math>p_x = \hbar k_x</math>,
где <math>p_x</math> — компонента импульса по направлению <math>x</math> (для одномерной системы — полный импульс), <math>k_x</math> — волновое число (компонента волнового вектора) по направлению <math>x</math> (для одномерной системы — просто волновое число), <math>\hbar</math> — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака).
Таким образом, в квантовой физике понятия компоненты импульса и волнового числа по сути совпадают. То же относится к полному импульсу и волновому числу без указания направления волнового вектора:
- <math>p = \hbar k</math>.
(Более того, поскольку постоянная Планка — универсальная константа, можно выбором системы единиц просто сделать её равной 1. Тогда вообще <math>p_x = k_x</math> м <math>p = k</math>.) Это можно считать одним из фундаментальных принципов квантовой механики.
В важном частном случае, для света в вакууме (и, в принципе, любых других безмассовых полей; приближённо — для ультрарелятивистских частиц), можно написать
- <math>k = \frac{W}{\hbar c}</math>,
где <math>W</math> — энергия, <math>c</math> — скорость света в вакууме.
Волновое число в электродинамике
Уравнения плоской электромагнитной волны записываются как
- <math>\Delta \mathbf{E} =\frac{1}{c^2}{\partial^2 \mathbf{E} \over \partial t^2},\qquad
\Delta \mathbf{H} =\frac{1}{c^2}{\partial^2 \mathbf{H} \over \partial t^2}</math>. Они же в координатной форме:
- <math>\frac{\partial^2 E_y }{\partial x^2}= \frac{1}{c^2} {\partial^2 E_y \over \partial t^2},\qquad \frac{\partial^2 H_z }{\partial x^2}= \frac{1}{c^2} {\partial^2 H_z \over \partial t^2} </math>.
Решение этих уравнений имеет вид:
- <math>E_y=E_m \cos(\omega t - kx),\qquad H_z=H_m \cos(\omega t - kx) </math>.
Подстановка выражения для <math>E_y</math> в уравнение приводит к соотношению
- <math>E_m k^2 \cos(\omega t - kx) = \frac{1}{c^2} E_m \omega^2 \cos(\omega t - kx)</math>,
откуда очевидна связь[7]
- <math>k=\frac{\omega}{c}</math>.
См. также
Примечания
- ↑ В одномерном случае выбор пространственной координаты однозначен (с точностью до зеркального отражения), в многомерном же случае по умолчанию координата x выбирается так, чтобы совпадать с направлением максимальной скорости роста фазы, то есть перпендикулярно фазовому фронту; в этом случае волновое число есть абсолютная величина волнового вектора. Наконец иногда направление x задается явно и может не совпадать с упомянутым только что; тогда обычно говорят о волновом числе по направлению x и явно указывают это в обозначении: <math>k_x</math>.
- ↑ Зачастую используются и другие, как правило, оговорённые явно.
- ↑ В математике (и многих приложениях) — в основном в терминологической форме пространственная частота или даже просто частота.
- ↑ Круговая частота измеряется в радианах в секунду, волновое число — в радианах на метр
- ↑ Это практически полные синонимы, различающиеся несколько лишь традиционными предпочтениями употребления в разных областях, так, термин волновое число в основном употребляется в физике (впрочем, наряду с термином пространственная частота), в математике же и различных приложениях (таких, как обработка изображений) обычно употребляется для сходного понятия термин пространственная частота и даже просто частота. Дополнительно заметим, что для термина пространственная частота (частота) нередко допускается многомерное понимание, то есть он употребляется и в качестве практического синонима термина волновой вектор, тогда как для термина волновое число такое употребление по понятным причинам практически исключено. Впрочем, компоненты волнового вектора могут называться волновыми числами по осям координат.
- ↑ Физическая энциклопедия. В 5 томах/ Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин. — М.: Советская энциклопедия + Большая российская энциклопедия. — 1998.
- ↑ И.В.Савельев "Курс общей физики" том II параграф "Плоская электромагнитная волна"