Русская Википедия:Вписанная и вневписанные в треугольник окружности

Треугольник (чёрный) с вписанной окружностью (синей), инцентр (I), вневписанными окружностями (оранжевые), эксцентры (J_A,J_B,J_C), внутренние биссектрисы (красные) и внешние биссектрисы (зелёные)

Вписанная в треугольник окружность — окружность внутри треугольника, касающаяся всех его сторон; наибольшая окружность, которая может находиться внутри треугольника. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника и называется инцентром треугольника.

Вневписанная окружность треугольника — окружность, лежащая вне треугольника и касающаяся одной стороны треугольника и Шаблон:Не переведено 5. Любой треугольник имеет три различные вневписанные окружности, каждая из которых касается своей стороны треугольника. Центром вневписанной окружности является пересечение биссектрисы одного Шаблон:Не переведено 5 и биссектрис двух других Шаблон:Не переведено 5. Поскольку биссектриса внутреннего угла перпендикулярна биссектрисе смежного внешнего угла, центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вневписанных окружностей образуют Шаблон:Не переведено 5^[1].

Не все многоугольники с числом сторон более трёх имеют вписанную окружность. Те, которые имеют, называются описанными.

Связь с площадью треугольника

Радиусы вписанных и вневписанных окружностей имеют тесную связь с площадью треугольника^[2].

Вписанная окружность

Файл:Вики вписанная окружность7.png

Пусть <math> \triangle ABC </math> имеет вписанную окружность радиуса r с центром I. Пусть a — длина BC, b — длина AC, а c — длина AB. Пусть вписанная окружность касается AB в некоторой точке C′, тогда <math> \angle AC'I</math> является прямым. Тогда радиус C’I будет высотой треугольника <math>\triangle IAB </math>. Таким образом, <math>\triangle IAB </math> имеет основание длины c и высоту r, а следовательно, его площадь равна <math>\tfrac{1}{2}cr</math>. Подобным же образом <math> \triangle IAC </math> имеет площадь <math>\tfrac{1}{2}br</math> и <math>\triangle IBC</math> имеет площадь <math>\tfrac{1}{2}ar</math>. Поскольку эти три треугольника разбивают <math> \triangle ABC </math>, получаем, что

<math> \Delta = \frac{1}{2} (a+b+c) r = p r, </math>

где <math>\Delta</math> — площадь <math> \triangle ABC </math>, а <math>p= \frac{1}{2}(a+b+c)</math> — его полупериметр.

Чтобы получить альтернативную формулу, рассмотрим <math>\triangle IC'A </math>. Это прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен r, а другой равен <math>r\cdot\mathrm{ctg} \frac{\angle A}{2}</math>. То же самое верно для <math>\triangle IB'A </math>. Весь треугольник состоит из 6 таких треугольников, и общая площадь составляет:

<math> \Delta = r^2\cdot(\mathrm{ctg} \frac{\angle A}{2} + \mathrm{ctg} \frac{\angle B}{2} + \mathrm{ctg} \frac{\angle C}{2})</math>

Вневписанные окружности

Пусть вневписанная окружность, касающаяся стороны AB, касается продолжения стороны AC в точке G, и пусть радиус этой окружности равен <math>r_c</math>, а её центр — <math>I_c</math>. Тогда <math>I_c G </math> является высотой треугольника <math> \triangle ACI_c </math>, так что <math> \triangle ACI_c </math> имеет площадь <math>\tfrac{1}{2}br_c</math>. По тем же причинам <math> \triangle BCI_c </math> имеет площадь <math>\tfrac{1}{2}ar_c</math>, а <math> \triangle ABI_c </math> имеет площадь <math>\tfrac{1}{2}cr_c</math>. Тогда

<math> \Delta = \frac{1}{2}(a+b-c)r_c = (p-c)r_c </math>.

Таким образом, ввиду симметрии,

<math> \Delta = pr = (p-a)r_a = (p-b)r_b = (p-c)r_c </math>.

По теореме косинусов получаем

Комбинируя это с тождеством <math>\sin^2 A + \cos^2 A = 1</math>, получим

Но <math> \Delta = \tfrac{1}{2}bc \sin A </math>, так что

<math>

\begin{align} \Delta &= \frac{1}{4} \sqrt{-a^4 - b^4 - c^4 + 2a^2b^2 + 2b^2 c^2 + 2 a^2 c^2} \\

                      &= \frac{1}{4} \sqrt{ (a+b+c) (-a+b+c) (a-b+c) (a+b-c) }\\
                     & = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},

\end{align}</math>

и это формула Герона вычисления площади треугольника по его сторонам.

Комбинируя формулу Герона с <math>pr=\Delta</math>, получим

<math> r^2 = \frac{\Delta^2}{p^2} = \frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}</math>.

Аналогично, <math> (p-a)r_a = \Delta</math> даёт

<math> r_a^2 = \frac{p(p-b)(p-c)}{p-a}</math>.

Из этих формул видно, что вневписанные окружности всегда больше вписанной и наибольшая окружность соответствует самой длинной стороне, а самая наименьшая из вневписанных окружностей соответствует самой маленькой стороне. Дальнейшее комбинирование формул приводит к:^[3]

<math>\Delta=\sqrt{rr_ar_br_c}.</math>

Отношение площади вписанной окружности к площади треугольника меньше или равно <math>\frac{\pi}{3\sqrt{3}}</math>, и равенство достигается только на правильных треугольниках^[4].

Связанные построения

Окружность девяти точек и точка Фейербаха

Теорема Эйлера об окружности Эйлера. Середины отрезков высот от ортоцентра до вершин треугольника называются точками Эйлера. Основания медиан, основания высот и точки Эйлера лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек^[5].

Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек касается всех трёх вневписанных окружностей, а также вписанной окружности в четырёх разных точках. Одна из них - точка касания окружности Эйлера и вписанной окружности известна как точка Фейербаха.

Треугольник и точка Жергонна

Файл:Intouch Triangle and Gergonne Point.svg

Треугольник ΔABC с вписанной окружностью (синяя), и её центр (синий, I), треугольник точек касания (красный, ΔT_aT_bT_c) и точка Жергонна (зелёная, Ge)

Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) определяется тремя точками касания вписанной окружности на трёх сторонах. Эти вершины обозначим T_A, и т. д.. Точка T_A лежит напротив вершины A.

Этот треугольник Жергонна T_AT_BT_C известен также как треугольник касаний треугольника ABC.

Три прямые AT_A, BT_B и CT_C пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается Ge — X(7). Точка Жергонна лежит внутри открытого Шаблон:Не переведено 5 с выколотым центром^[6].

Интересно, что точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна. Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова^[7].

Трилинейные координаты вершин треугольника касаний задаются формулами

вершина <math>A= 0 : \sec^2 \left(\frac{B}{2}\right) :\sec^2\left(\frac{C}{2}\right)</math>
вершина <math>B= \sec^2 \left(\frac{A}{2}\right):0:\sec^2\left(\frac{C}{2}\right)</math>
вершина <math>C= \sec^2 \left(\frac{A}{2}\right) :\sec^2\left(\frac{B}{2}\right):0</math>

Трилинейные координаты точки Жергонна

<math>\sec^2\left(\frac{A}{2}\right) : \sec^2 \left(\frac{B}{2}\right) : \sec^2\left(\frac{C}{2}\right)</math>,

или, эквивалентно, по теореме синусов,

<math>\frac{bc}{b+ c - a} : \frac{ca}{c + a-b} : \frac{ab}{a+b-c}</math>.

Точка Жергонна является изотомическим сопряжением точки Нагеля.

Треугольник и точка Нагеля

Треугольник Нагеля (см. рис. выше) для треугольника ABC определяется вершинами T_A, T_B и T_C, которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника ABC и точка X_A противоположна стороне A, и т. д. Описанная вокруг треугольника T_AT_BT_C окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта). Три прямые AT_A, BT_B и CT_C делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля Na — X(8).

Трилинейные координаты точек касания треугольника вневписанными окружностями задаются формулами

вершина <math> A = 0 : \csc^2\left(\frac{B}{2}\right) : \csc^2\left(\frac{C}{2}\right)</math>
вершина <math> B= \csc^2\left(\frac{A}{2}\right) : 0 : \csc^2\left(\frac{C}{2}\right)</math>
вершина <math> C = \csc^2\left(\frac{A}{2}\right) : \csc^2\left(\frac{B}{2}\right) : 0</math>

Трилинейные координаты точки Нагеля задаются формулами

<math>\csc^2\left(\frac{A}{2}\right) : \csc^2 \left(\frac{B}{2}\right) : \csc^2\left(\frac{C}{2}\right)</math>,

или, эквивалентно, по теореме синусов,

<math>\frac{b+ c - a}{a} : \frac{c + a-b}{b} : \frac{a+b-c}{c}</math>.

Точка Нагеля является изотомическим сопряжением точки Жергонна.

Трилинейные координаты вписанных треугольников

Трилинейные координаты вершин треугольника, образованного основаниями биссектрис, задаются формулами

вершина <math>A= 0 : 1 : 1</math>
вершина <math>B= 1 : 0 : 1</math>
вершина <math>C= 1 : 1 : 0</math>

Трилинейные координаты треугольника, образованного точками касания сторон внеописанными окружностями, задаются формулами

вершина <math>A= -1 : 1 : 1</math>
вершина <math>B= 1 : -1 : 1</math>
вершина <math>C= 1 : -1 : -1</math>

Уравнения окружностей

Пусть x : y : z — координаты точки в трилинейных координатах, и пусть u = cos²(A/2), v = cos²(B/2), w = cos²(C/2). Четыре окружности, описанные выше, можно задать любым из двух указанных способов^[8]:

Вписанная окружность:

A-внешневписанная:

B-внешневписанная:

C-внешневписанная:

Другие свойства вписанной окружности

Некоторые формулы с радиусом вписанной окружности

<math>r= \frac{p-a}{\operatorname{ctg}(\alpha/2)} = \frac{p-b}{\operatorname{ctg}(\beta/2)} = \frac{p-c}{\operatorname{ctg}(\gamma/2)} </math>, <math>p</math> — полупериметр треугольника (Теорема котангенсов).

Радиус вписанной окружности не больше одной девятой суммы высот треугольника^[9].

Неравенство Эйлера: радиус вписанной окружности не превосходит половины радиуса описанной окружности и равенство имеет место лишь для равностороннего треугольника^[10].

Предположим, что точки касания вписанной окружности делят стороны на отрезки длиной x и y, y и z, z и x. Тогда вписанная окружность имеет радиус^[11]

и площадь треугольника равна

Если высоты, опущенные на стороны a, b и c есть h_a, h_b и h_c, то радиус вписанной окружности r равен одной трети гармонического среднего этих высот, то есть

Произведение радиуса вписанной окружности r и радиуса описанной окружности R треугольника со сторонами a, b и c равен^[1]

Некоторые связи сторон, радиусов вписанной окружности и описанной окружностей^[12]:

Любая прямая, проходящая через треугольник и делящая площадь треугольника и периметр пополам, проходит через центр вписанной окружности. Таких прямых может существовать три, две или одна^[13].

Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружностиШаблон:Sfn.

Формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей

Теорема Эйлера

Теорема Эйлера утверждает, что в треугольнике^[10]:

где R и r_in являются радиусами описанной и вписанной окружностей соответственно, а d — расстояние между центрами этих окружностей.

Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:

где r_ex — радиус одной из вневписанных окружностей, а d — расстояние между центрами описанной и вневписанной окружностей^[14]^[15]^[16]

Возводя в квадрат и приводя подобные из первой формулы Эйлера выше имеем:

Квадрат расстояния от центра вписанной окружности I до центра описанной O задаётся уравнением^[17]

<math>OI^2= \frac{abc\,}{a+b+c}\left [\frac{abc\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}-1 \right ]</math>

Аналогично для второй формулы:

Другие формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей

Расстояние от центра вписанной окружности до центра N окружности девяти точек равно^[17]

Расстояние от вершины до точек касания вписанной окружности на прилегающих сторонах равно полусумме длин прилегающих сторон минус половина противолежащей стороны^[18]. Так, для вершины B и прилежащих точек касания T_A и T_C,

Если обозначить центр вписанной окружности треугольника ABC буквой I, мы получим^[19]

и^[20]

Если обозначить за I центр вписанной окружности треугольника ABC, AD — биссектриса угла A, то <math>\frac{AI}{DI} = \frac{AB + AC}{BC}</math>
Центр вписанной окружности лежит в треугольнике, вершины которого являются серединами сторон треугольника^[17].
Теорема о трезубце или теорема трилистника, или теорема Клайнэра: Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC, I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC, тогда <math>|DI|=|DB|=|DC|=|DJ|</math>.

Теорема Мансиона (составная часть Теоремы о трезубце). Середины трёх отрезков, соединяющих центр вписанной окружности с центрами вневписанных окружностей лежат на описанной окружности^[10].

Файл:Harcourt theorem.svg

Теорема Харкорта

Теорема Харкорта. Пусть треугольник задан своими вершинами A, B и C, противоположные вершинам стороны имеют длины a, b и c, площадь равна K и прямая касается вписанной в треугольник окружности в произвольной точке. Обозначим расстояния от вершин треугольника до прямой через a ', b ' и c ', при этом, если вершина и центр окружности лежат по разные стороны от прямой, расстояние считается отрицательным. Тогда

<math>a a ^\prime + b b^\prime + c c^\prime = 2K.</math>.

Другие свойства вневписанных окружностей

Следующее отношение выполняется для радиуса r вписанной окружности, радиуса R описанной окружности, полупериметра s и радиусов вневписанных окружностей r_a, r_b, r_c^[12]:

Окружность, проходящая через центры вневписанных окружностей, имеет радиус 2R^[12].

Если H — ортоцентр треугольника ABC, то^[12]

Вершины A, B и C треугольника ABC являются основаниями высот треугольника J_AJ_B,J_C,

где J_AJ_B,J_C — центры вневписанных окружностей^[10].

Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружностиШаблон:Sfn.
Центр Шпикера треугольника является радикальным центром его вневписанных окружностейШаблон:Sfn. Если из центра Шпикера треугольника провести 6 касательных к 3 вневписанным окружностям треугольника, то все их длины будут равны между собой.

Окружность Аполлония

Определение окружности Аполлония

Файл:Apollonius point.svg

Точка Аполлония и окружность Аполлония

Пусть дан треугольник ABC. Пусть вневписанные окружности треугольника ABC, противоположные вершинам A, B и C, есть соответственно E_A, E_B, E_C (см. рисунок). Тогда окружность Аполлония E (на рис. справа показана зеленым цветом) касается внутренним образом сразу трех вневписанных окружностей треугольника ABC в точках соответственно E_A, E_B и E_C (см. рисунок)^[21].

Радиус окружности Аполлония

Радиус окружности Аполлония равен <math>\frac{r^2+s^2}{4r}</math>, где r — радиус вписанной окружности и s — полупериметр треугольника^[22].

Определение точки Аполлония Ap

Точка Аполлония Ap в Энциклопедии центров треугольника у Кларка Кимберлинга (Encyclopedia of Triangle Centers (ETC)) именуется как центр треугольника под именем X(181).
Точка Аполлония Ap или X(181) определяется следующим образом:

Пусть A' , B' и C' есть точки касания окружности Аполлония E с соответствтвующими вневписанными окружностями. Тогда прямые AA' , BB' и CC' пересекаются в одной точке Ap, которую называют точкой Аполлония треугольника ABC.

Изогональное сопряжение

Изогональное сопряжение имеет ровно четыре неподвижные точки (то есть точки, которые сопряжены самим себе): центр вписанной окружности и центры вневписанных окружностей треугольника^[23].

Ортоцентр треугольника изогонально сопряжён центру описанной окружности этого треугольника^[23].

Обобщение на другие многоугольники

Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито.
Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вневписанную окружность. Они называются внеописанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важное свойство отмечает теорема Уркхарта. Она утверждает:
Если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точках E и F, то

<math>AB+BC=AD+DC\quad\Leftrightarrow\quad AE+EC=AF+FC.</math>

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Сайты с интерактивным содержанием

Triangle incenter Triangle incircle Incircle of a regular polygon With interactive animations
Constructing a triangle’s incenter / incircle with compass and straightedge An interactive animated demonstration
Equal Incircles Theorem at cut-the-knot
Five Incircles Theorem at cut-the-knot
Pairs of Incircles in a Quadrilateral at cut-the-knot
An interactive Java applet for the incenter

Шаблон:Rq

↑ ^1,0 ^1,1 Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Статья. См. также часть 2 в томе. 2(1), Сентябрь 1885, 11-18.)
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Книга
↑ ^10,0 ^10,1 ^10,2 ^10,3 Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Книга
↑ ^12,0 ^12,1 ^12,2 ^12,3 Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Статья
↑ ^17,0 ^17,1 ^17,2 Шаблон:Статья.
↑ Mathematical Gazette, July 2003, 323—324.
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Статья
↑ ^23,0 ^23,1 Шаблон:Книга

[Johnson-1] 1,0 ^1,1 Шаблон:Книга

[2] Шаблон:Книга

[3] Шаблон:Статья. См. также часть 2 в томе. 2(1), Сентябрь 1885, 11-18.)

[4] Шаблон:Статья

[5] Шаблон:Книга

[Bradley-6] Шаблон:Статья

[7] Шаблон:Статья

[WW-8] Шаблон:Книга

[9] Шаблон:Книга

[Kulanin-10] 10,0 ^10,1 ^10,2 ^10,3 Шаблон:Книга

[11] Шаблон:Книга

[Bell-12] 12,0 ^12,1 ^12,2 ^12,3 Шаблон:Статья

[13] Шаблон:Статья

[Nelson-14] Шаблон:Статья

[15] Шаблон:Книга

[16] Шаблон:Статья

[Franzsen-17] 17,0 ^17,1 ^17,2 Шаблон:Статья.

[18] Mathematical Gazette, July 2003, 323—324.

[19] Шаблон:Статья

[ac-20] Шаблон:Книга

[21] Шаблон:Статья

[22] Шаблон:Статья

[Prasolov-23] 23,0 ^23,1 Шаблон:Книга

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.