Русская Википедия:Вписанно-описанный четырёхугольник

Поризм Понселе для вписанно-описанных четырёхугольников ABCD и EFGH

Вписанно-описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, который имеет как вписанную окружность, так и описанную окружность. Из определения следует, что вписанно-описанные четырёхугольники имеют все свойства как описанных четырёхугольников, так и вписанных четырёхугольников. Другие названия этих четырёхугольников: хордо-касающийся четырёхугольникШаблон:Sfn и бицентрический четырёхугольник. Их также называют двух-окружностными четырёхугольникамиШаблон:Sfn.

Если две окружности, одна внутри другой, являются вписанной окружностью и описанной окружностью некоторого четырёхугольника, то любая точка на описанной окружности является вершиной какого-то (возможно, другого) вписанно-описанного четырёхугольника, имеющего те же самые вписанные и описанные окружности^[1]. Это следствие поризма Понселе, который доказал французский математик Жан-Виктор Понселе (1788–1867).

Специальные случаи

Файл:Bicentric kite 001.svg

Прямоугольный дельтоид

Примерами вписанно-описанных четырёхугольников являются квадраты, прямоугольные дельтоиды и Шаблон:Не переведено 5.

Описание

Файл:Bicentric quadrilateral.svg

Вписанно-описанный четырёхугольник ABCD и его контактный четырёхугольник WXYZ

Выпуклый четырёхугольник ABCD со сторонами a, b, c, d является бицентрическим тогда и только тогда, когда противоположные стороны удовлетворяют теореме Пито для описанных четырёхугольников и свойству вписанных четырёхугольников, что противоположные углы в сумме дают 180 градусов, то есть

<math>

\begin{cases} a+c=b+d\\ A+C=B+D=\pi. \end{cases} </math>

Три других описания касаются точек, в которых вписанная окружность в описанном четырёхугольнике касается сторон. Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD и DA в точках W, X, Y и Z соответственно, то описанный четырёхугольник ABCD является также и описанным в том и только в том случае, когда выполняется любое из следующих трёх условийШаблон:Sfn:

Отрезок WY перпендикулярен XZ
<math>\frac{AW}{WB}=\frac{DY}{YC}</math>
<math>\frac{AC}{BD}=\frac{AW+CY}{BX+DZ}</math>

Первое из этих трёх условий означает, что контактный четырёхугольник WXYZ является ортодиагональным четырёхугольником.

Если E, F, G, H являются серединами WX, XY, YZ, ZW соответственно, то описанный четырёхугольник ABCD также является описанным тогда и только тогда, когда четырёхугольник EFGH является прямоугольником Шаблон:Sfn.

Согласно другому описанию, если I является центром вписанной окружности описанного четырёхугольника, у которого продолжения противоположных сторон пересекаются в точках J и K, то четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда JIK является прямым углом Шаблон:Sfn.

Ещё одним необходимым и достаточным условием является то, что описанный четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда его прямая Гаусса перпендикулярна прямой Гаусса его контактного четырёхугольника WXYZ. (Прямая Гаусса четырёхугольника определяется средними точками его диагоналей.)Шаблон:Sfn

Построение

Файл:01-Bicentric quadrilateral.svg

Вписанно-описанный четырёхугольник ABCD с контактным четырёхугольником WXYZ. Анимацию смотрите здесь

Имеется простой метод построения бицентрического четырёхугольника:

Построение начинается с вписанной окружности C_r с центром I и радиусом r, затем рисуем две перпендикулярные друг другу хорды WY и XZ во вписанной окружности C_r. На концах хорд проводим касательные a, b, c и d к вписанной окружности. Они пересекаются в точках A, B, C and D, которые являются вершинами вписанно-описанного четырёхугольникаШаблон:Sfn. Чтобы нарисовать описанную окружность, рисуем два серединных перпендикуляра p₁ и p₂ к сторонам вписанно-описанного четырёхугольника a и b соответственно. Они пересекаются в центре O описанной окружности C_R на расстоянии x от центра I вписанной окружности C_r.

Справедливость этого построения вытекает из факта, что в описанном четырёхугольнике ABCD контактный четырёхугольник WXYZ имеет перпендикулярные диагонали тогда и только тогда, когда описанный четырёхугольник является также вписанным.

Площадь

Формулы в терминах четырёх величин

Площадь K вписанно-описанного четырёхугольника можно выразить в терминах четырёх величин четырёхугольника несколькими способами. Если a, b, c и d являются сторонами, то площадь задаётся формулой^[1]Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn

<math>\displaystyle K = \sqrt{abcd}.</math>

Это частный случай формулы Брахмагупты. Формулу можно получить и прямо из тригонометрической формулы площади описанного четырёхугольника. Заметим, что обратное не выполняется — некоторые четырёхугольники, не являющиеся бицентрическими, также имеют площадь <math>\displaystyle K = \sqrt{abcd}.</math>Шаблон:Sfn. Примером такого четырёхугольника служит прямоугольник (с разными сторонами, не квадрат).

Площадь может быть выражена в терминах отрезков от вершины до точки касания (для краткости будем называть эти длины касательными длинами) e, f, g, hШаблон:Sfn

Формула площади вписанно-описанного четырёхугольника ABCD с центром вписанной окружности IШаблон:Sfn

Если вписанно-описанный четырёхугольник имеет касательные хорды k, l и диагонали p, q, тогда он имеет площадьШаблон:Sfn

Если k, l являются касательными хордами и m, n являются бимедианами четырёхугольника, тогда площадь может быть вычислена с помощью формулыШаблон:Sfn.

<math>K=\left|\frac{m^2-n^2}{k^2-l^2}\right|kl</math>

Формула не может быть использована, если четырёхугольник является прямоугольным дельтоидом, поскольку в этом случае знаменатель равен нулю.

Если M и N являются серединами диагоналей, а E и F являются точками пересечения продолжения сторон, то площадь вписанно-описанного четырёхугольника задаётся формулой

<math>K=\frac{2MN\cdot EI\cdot FI}{EF}</math>,

где I является центром вписанной окружностиШаблон:Sfn.

Формулы в терминах трёх величин

Площадь вписанно-описанного четырёхугольника можно выразить в терминах двух противоположных сторон и угла θ между диагоналями согласно формулеШаблон:Sfn

<math>K=ac\mathrm{tg}\,{\frac{\theta}{2}}=bd\mathrm{ctg}\,{\frac{\theta}{2}}.</math>

В терминах двух смежных углов и радиуса r вписанной окружности площадь площадь задаётся формулойШаблон:Sfn

<math>K=2r^2\left(\frac{1}{\sin{A}}+\frac{1}{\sin{B}}\right).</math>

Площадь задаётся в терминах радиуса R описанной окружности и радиуса r вписанной окружности как

<math>K=r(r+\sqrt{4R^2+r^2})\sin \theta</math>

где θ является любым из углов между диагоналямиШаблон:Sfn.

Если M и N являются средними точками диагоналей, а E и F являются точками пересечения продолжений противоположных сторон, площадь можно выразить формулой

<math>K=2MN\sqrt{EQ\cdot FQ}</math>,

где Q является основанием перпендикуляра на прямую EF из центра вписанной окружностиШаблон:Sfn.

Неравенства

Если r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно, тогда площадь K удовлетворяет двойному неравенству Шаблон:Sfn

<math>\displaystyle 4r^2 \leqslant K \leqslant 2R^2.</math>

Равенство получим, только если четырёхугольник является квадратом.

Другим неравенством для площади будет^[2]Шаблон:Rp

<math>K \leqslant \tfrac{4}{3}r\sqrt{4R^2+r^2}</math>,

где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно.

Похожее неравенство, дающее более точную верхнюю границу для площади, чем предыдущееШаблон:Sfn

<math>K \leqslant r(r+\sqrt{4R^2+r^2})</math>

и равенство достигается тогда и только тогда, когда четырёхугольник является прямоугольным дельтоидом.

Кроме того, со сторонами a, b, c, d и полупериметром s:

<math>2\sqrt{K} \leqslant q s \leqslant r+ \sqrt{r^2+4R^2}; </math>^[2]Шаблон:Rp

<math>6K \leqslant ab+ac+ad+bc+bd+cd \leqslant 4r^2+4R^2+ 4r\sqrt{r^2+4R^2}; </math>^[2]Шаблон:Rp

<math>4Kr^2\leqslant abcd \leqslant \frac{16}{9} r^2(r^2+4R^2). </math>^[2]Шаблон:Rp

Формулы углов

Если a, b, c и d являются длинами сторон AB, BC, CD и DA соответственно во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD, то его углы в вершинах можно вычислить с помощью тангенса Шаблон:Sfn:

<math>\mathrm{tg}\,{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{bc}{ad}}=\mathrm{ctg}\,{\frac{C}{2}},</math>

<math>\mathrm{tg}\,{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{cd}{ab}}=\mathrm{ctg}\,{\frac{D}{2}}.</math>

Если использовать те же обозначения, выполняются следующие формулы для синусов и косинусов Шаблон:Sfn:

Угол θ между диагоналями можно вычислить из формулыШаблон:Sfn.

<math>\displaystyle \mathrm{tg}\,{\frac{\theta}{2}}=\sqrt{\frac{bd}{ac}}.</math>

Радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности

Радиус вписанной окружности r вписанно-описанного четырёхугольника определяется сторонами a, b, c, d по формуле^[1]

<math>\displaystyle r=\frac{\sqrt{abcd}}{a+c}=\frac{\sqrt{abcd}}{b+d}.</math>

Радиус описанной окружности R является частным случаем формулы Парамешвары^[1]

<math>\displaystyle R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}.</math>

Радиус вписанной окружности можно выразить также в терминах последовательных касательных длин e, f, g, h согласно формулеШаблон:Sfn.

<math>\displaystyle r=\sqrt{eg}=\sqrt{fh}.</math>

Эти две формулы, фактически, являются необходимыми и достаточными условиями для описанного четырёхугольника с радиусом вписанной окружности r быть вписанным.

Четыре стороны a, b, c, d вписанно-описанного четырёхугольника являются решениями Шаблон:Не переведено 5

<math>y^4-2sy^3+(s^2+2r^2+2r\sqrt{4R^2+r^2})y^2-2rs(\sqrt{4R^2+r^2}+r)y+r^2s^2=0</math>,

где s является полупериметром, а r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственноШаблон:Sfn.

Если имеется вписанно-описанный четырёхугольник с радиусом вписанной окружности r, касательные длины которых равны e, f, g, h, то существует вписанно-описанный четырёхугольник с радиусом вписанной окружности r^v, касательные длины которых равны <math>e^v, f^v, g^v, h^v</math>, где v могут быть любым вещественным числом Шаблон:Sfn.

Вписанно-описанный четырёхугольник имеет больший радиус вписанной окружности, чем любой другой описанный четырёхугольник, имеющий те же длины сторон в той же последовательностиШаблон:Sfn.

Неравенства

Радиус описанной окружности R и радиус вписанной окружности r удовлетворяют неравенству

<math>R\geqslant \sqrt{2}r</math>,

которое доказал Л. Фейеш Тот в 1948Шаблон:Sfn. Неравенство превращается в равенство, только если две окружности концентричны (центры совпадают). В этом случае четырёхугольник является квадратом. Неравенство можно доказать несколькими различными путями, один из путей использует двойное неравенство для площади выше.

Обобщением предыдущего неравенства являетсяШаблон:Sfn Шаблон:Sfn.

<math>\frac{r\sqrt{2}}{R}\leqslant \frac{1}{2}\left(\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}+\sin{\frac{B}{2}}\cos{\frac{C}{2}}+\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{D}{2}}+\sin{\frac{D}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\right) \leqslant 1</math>,

где неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда четырёхугольник является квадратом Шаблон:Sfn.

Полупериметр s вписанно-описанного четырёхугольника удовлетворяетШаблон:Sfn

<math>\sqrt{8r\left(\sqrt{4R^2+r^2}-r\right)} \leqslant s \leqslant \sqrt{4R^2+r^2}+r</math>,

где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно.

Более того,^[2]Шаблон:Rp

<math>2sr^2\leqslant abc+abd+acd+bcd \leqslant 2r(r+\sqrt{r^2+4R^2})^2</math>

и

<math>abc+abd+acd+bcd \leqslant 2\sqrt{K}(K+2R^2).</math> ^[2]Шаблон:Rp

Расстояние между центром вписанной окружности и центром описанной окружностей

Файл:Fuss theorem2.svg

Вписанно-описанный четырёхугольник ABCD с центром вписанной окружности I и центром описанной окружности O

Теорема Фусса

Теорема Фусса даёт связь между радиусом вписанной окружности r, радиусом описанной окружности R и расстоянием x между центром вписанной окружности I и центром описанной окружности O, для любого бицентрического четырёхугольника. Связь задаётся формулойШаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn.

Или, эквивалентно,

<math>\displaystyle 2r^2(R^2+x^2)=(R^2-x^2)^2.</math>

Формулу вывел Николай Иванович Фусс (1755–1826) в 1792. Решая относительно x, получим

Теорема Фусса для вписанно-описанных четырёхугольников, которая является аналогом теоремы Эйлера для треугольников, утверждает, что если четырёхугольник бицентрический, то его две ассоциированных окружности связаны приведённой выше формулой. Фактически, обратное также выполняется — если даны две окружности (одна внутри другой) с радиусами R и r и расстояние x между их центрами удовлетворяет условию теоремы Фусса, существует выпуклый четырёхугольник, вписанный в одну из окружностей, а другая окружность будет вписана в четырёхугольникШаблон:Sfn (а тогда, по теореме Понселе, существует бесконечно много таких четырёхугольников).

Если использовать факт, что <math>x^2 \geqslant 0</math> в выражении теоремы Фусса, получим другим способом уже упомянутое неравенство <math>R \geqslant \sqrt{2}r.</math> Обобщением неравенства будетШаблон:Sfn

<math>2r^2+x^2\leqslant R^2 \leqslant 2r^2+x^2+2rx.</math>

Тождество Карлица

Другая формула расстояния x между центрами вписанной окружности и описанной окружности принадлежит американскому математику Леонарду Карлицу (1907–1999). Формула утверждает, чтоШаблон:Sfn.

<math>\displaystyle x^2=R^2-2Rr\cdot \mu</math>,

где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно, и

<math>\displaystyle \mu=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^2(ac+bd)}} = \sqrt{\frac{(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^2(ac+bd)}}</math>,

где a, b, c, d являются сторонами вписанно-описанного четырёхугольника.

Неравенства для касательных длин и сторон

Для касательных длин e, f, g, h выполняются следующие неравенстваШаблон:Sfn:

<math>4r\leqslant e+f+g+h \leqslant 4r\cdot \frac{R^2+x^2}{R^2-x^2}</math>

и

<math>4r^2\leqslant e^2+f^2+g^2+h^2 \leqslant 4(R^2+x^2-r^2)</math>,

где r является радиусом вписанной окружности, R является радиусом описанной окружности, а x является расстоянием между центрами этих окружностей. Стороны a, b, c, d удовлетворяют неравенствамШаблон:Sfn

<math>8r\leqslant a+b+c+d \leqslant 8r\cdot \frac{R^2+x^2}{R^2-x^2}</math>

и

<math>4(R^2-x^2+2r^2) \leqslant a^2+b^2+c^2+d^2 \leqslant 4(3R^2-2r^2).</math>

Другие свойства центра вписанной окружности

Центр описанной окружности, центр вписанной окружности и точка пересечения диагоналей во вписанно-описанном четырёхугольнике коллинеарны.^[3]

Есть следующее равенство относительно четырёх расстояний между центром вписанной окружности I и вершинами бицентрического четырёхугольника ABCD:^[4]

<math>\frac{1}{AI^2}+\frac{1}{CI^2}=\frac{1}{BI^2}+\frac{1}{DI^2}=\frac{1}{r^2}</math>,

где r — радиус вписанной окружности.

Если точка P является пересечением диагоналей во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности I, то^[5]

Есть неравенство для радиуса r вписанной окружности и радиуса описанной окружности R во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD^[6]

<math>4r^2 \leqslant AI\cdot CI+BI\cdot DI \leqslant 2R^2</math>,

где I является центром вписанной окружности.

Свойства диагоналей

Длины диагоналей во вписанно-описанном четырёхугольнике можно выразить терминах сторон или касательных длин. Эти формулы верны для вписанных четырёхугольников и описанных четырёхугольников соответственно.

Во вписанно-описанном четырёхугольнике с диагоналями p и q выполняется тождествоШаблон:Sfn:

<math>\displaystyle \frac{pq}{4r^2}-\frac{4R^2}{pq}=1</math>,

где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно. Это тождество можно переписать какШаблон:Sfn

или, решив его как квадратное уравнение относительно произведения диагоналей, получим

<math>pq=2r\left(r+\sqrt{4R^2+r^2}\right).</math>

Есть неравенство для произведения диагоналей p, q во вписанно-описанном четырёхугольникеШаблон:Sfn

<math>\displaystyle 8pq\leqslant (a+b+c+d)^2</math>,

где a, b, c, d — стороны. Неравенство доказал Мюррей С. Кламкин в 1967.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend Шаблон:Rq

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 Eric Weisstein, Bicentric Quadrilateral at MathWorld, [1] Шаблон:Wayback, Accessed on 2011-08-13.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 ^2,5 Inequalities proposed in Шаблон:Не переведено 5, 2007.[2] Шаблон:Wayback
↑ Bogomolny, Alex, Collinearity in Bicentric Quadrilaterals [3] Шаблон:Wayback, 2004.
↑ Juan Carlos Salazar, Fuss Theorem for Bicentric Quadrilateral, 2003, [4].
↑ Шаблон:Не переведено 5 34 (2008) no 4, p. 242.
↑ Post at Art of Problem Solving, 2009 Шаблон:Недоступная ссылка

[Weisstein-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 Eric Weisstein, Bicentric Quadrilateral at MathWorld, [1] Шаблон:Wayback, Accessed on 2011-08-13.

[Crux-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 ^2,5 Inequalities proposed in Шаблон:Не переведено 5, 2007.[2] Шаблон:Wayback

[3] Bogomolny, Alex, Collinearity in Bicentric Quadrilaterals [3] Шаблон:Wayback, 2004.

[4] Juan Carlos Salazar, Fuss Theorem for Bicentric Quadrilateral, 2003, [4].

[5] Шаблон:Не переведено 5 34 (2008) no 4, p. 242.

[6] Post at Art of Problem Solving, 2009 Шаблон:Недоступная ссылка

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:Вписанно-описанный четырёхугольник

Содержание

Специальные случаи

Описание

Построение

Площадь

Формулы в терминах четырёх величин

Формулы в терминах трёх величин

Неравенства

Формулы углов

Радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности

Неравенства

Расстояние между центром вписанной окружности и центром описанной окружностей

Теорема Фусса

Тождество Карлица

Неравенства для касательных длин и сторон

Другие свойства центра вписанной окружности

Свойства диагоналей

См. также

Примечания

Литература

Навигация

Действия на странице

Действия на странице

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты