Русская Википедия:Вписанный четырёхугольник

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Cyclic quadrilateral.svg
Примеры вписанных четырёхугольников.

Вписанный четырёхугольник — это четырёхугольник, вершины которого лежат на одной окружности. Эта окружность называется описанной. Обычно предполагается, что четырёхугольник выпуклый, но бывают и самопересекающиеся вписанные четырёхугольники. Формулы и свойства, данные ниже, верны только для выпуклых четырёхугольников.

Все треугольники имеют описанные окружности, но не все четырёхугольники. Примером четырёхугольника, который нельзя вписать в окружность, может служить ромб (если только он не является квадратом). Секция «Свойства» ниже даёт необходимые и достаточные условия, чтобы вокруг четырёхугольника можно было описать окружность.

Специальные случаи

Любые квадраты, прямоугольники, равнобедренные трапеции или антипараллелограммы можно вписать в окружность. Дельтоид можно вписать в том и только в том случае, когда у него два угла прямые. Шаблон:Не переведено 5 — это вписанный четырёхугольник, который также является и описанным, а внешне бицентричный четырёхугольник — это вписанный четырёхугольник, который является также Шаблон:Не переведено 5.

Свойства

  • Первый критерий вписанности четырёхугольника. Выпуклый невырожденный четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда четыре серединных перпендикуляра, проведённых к каждой из сторон, пересекаются в одной точкеШаблон:Sfn.
  • Второй критерий вписанности четырёхугольника. Выпуклый четырёхугольник <math> \displaystyle ABCD</math> является вписанным тогда и только тогда, когда противоположные углы в сумме дают 180°, то естьШаблон:Sfn.
<math>A + C = B + D = \pi = 180^{\circ}.</math>
  • Другой вариант первого критерия вписанности четырёхугольника. Теорема была Предложением 22 в книге 3 Евклида НачалаШаблон:Sfn. Эквивалентно, выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда смежный угол равен противоположному внутреннему углу.
  • Третий критерий вписанности четырёхугольника. Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда любая пара его противоположных сторон антипараллельна.
  • Четвертый критерий вписанности четырёхугольника. Другой критерий для того, чтобы выпуклый четырёхугольник <math> \displaystyle ABCD</math> был вписанным, требует, чтобы угол между стороной и диагональю был равен углу между противоположной стороной и другой диагональюШаблон:Sfn. Например,
<math>\angle ACB = \angle ADB.</math>
  • Пятый критерий вписанности четырёхугольника. Неравенство Птолемея утверждает, что произведение длин двух диагоналей p и q четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон, только если четырёхугольник вписан: Шаблон:Sfn
<math>\displaystyle pq = ac + bd.</math>.
  • Шестой критерий вписанности четырёхугольника. Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда любая пара его противоположных сторон антипараллельна.Если две прямые, из которых одна содержит отрезок AC, а другая — отрезок BD, пересекаются в точке E, то четыре точки A, B, C, D лежат на окружности тогда и только тогда, когдаШаблон:Sfn
<math> AE\cdot EC = BE\cdot ED.</math>

Точка пересечения E может лежать как внутри, так и вне окружности. В первом случае это будет вписанный четырёхугольник ABCD, а во втором — вписанный четырёхугольник ABDC. Если пересечение лежит внутри, равенство означает, что произведение отрезков, на которые точка E делит одну диагональ, равно произведению отрезков другой диагонали. Это утверждение известно как теорема о пересекающихся хордах, поскольку диагонали вписанного четырёхугольника являются хордами описанной окружности.

  • Седьмой критерий вписанности четырёхугольника. Выпуклый четырёхугольник ABCD является вписанным тогда и только тогда, когда Шаблон:Sfn

<math>\tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{C}{2}}=\tan{\frac{B}{2}}\tan{\frac{D}{2}}=1.</math>

Файл:Nine-point circle of diagonal triangle.png
ABCD - циклический четырехугольник, в котором E - точка пересечения диагоналей, F - точка пересечения продолжений сторон AD и BC, G - точка пересечения продолжений сторон AB и CD.(см. рис.) <math>\displaystyle \omega</math> - окружность девяти точек треугольника EFG. Точка T пересечения средних линий ABCD принадлежит окружности <math>\displaystyle \omega</math>.

.

  • Восьмой критерий вписанности четырёхугольника. Пусть <math> \displaystyle ABCD</math> выпуклый четырехугольник, в котором <math> \displaystyle E</math> - точка пересечения диагоналей, <math> \displaystyle F</math> - точка пересечения продолжений сторон <math> \displaystyle AD</math> и <math> \displaystyle BC</math>, <math> \displaystyle G</math> - точка пересечения продолжений сторон <math> \displaystyle AB</math> и <math> \displaystyle CD</math>. И пусть <math>\displaystyle \omega</math> - окружность девяти точек треугольника <math> \displaystyle EFG</math>. <math> \displaystyle ABCD</math> является циклическим четырехугольником тогда и только тогда, когда точка пересечения его средних линий лежит на окружности <math>\displaystyle \omega</math>.[1][2][3] (см. рис.)
Файл:Cyclic quadrilateral - pascal points.png
ABCD является циклическим четырехугольником. E - точка пересечения диагоналей, F - точка пересечения продолжений сторон BC и AD. <math>\omega</math> - окружность, диаметр которой является отрезком EF. P и Q - точки Паскаля, сформированные с помощью окружности <math>\omega</math>.
  • Девятый критерий вписанности четырёхугольника. В выпуклом четырехугольнике <math> \displaystyle ABCD</math> пусть <math> \displaystyle E</math> - точка пересечения диагоналей, <math> \displaystyle F</math> - точка пересечения продолжений сторон <math> \displaystyle AD</math> и <math> \displaystyle BC</math>, и пусть <math>\displaystyle \omega</math> - окружность, диаметр которой является отрезком <math> \displaystyle EF</math>, формирующая точки Паскаля <math> \displaystyle P</math> и <math> \displaystyle Q</math> на сторонах <math> \displaystyle AB</math> и <math> \displaystyle CD</math>.(см. рис.)

(1) <math> \displaystyle ABCD</math> является циклическим четырехугольником тогда и только тогда, когда точки <math> \displaystyle P</math> и <math> \displaystyle Q</math> коллинеарные с центром <math> \displaystyle O</math> окружности <math>\displaystyle \omega</math>.[3] [4]
(2) <math> \displaystyle ABCD</math> является циклическим четырехугольником тогда и только тогда, когда точки <math> \displaystyle P</math> и <math> \displaystyle Q</math> являются серединами сторон <math> \displaystyle AB</math> и <math> \displaystyle CD</math>.[3][4] .

  • Десятый критерий вписанности четырёхугольника. Условие, при котором совмещение двух треугольников с одной равной стороной даёт четырёхугольник, вписанный в окружность[5]. Для того, чтобы два треугольника с тройками длин сторон соответственно (a, b, f) и (c, d, f) при их совмещении вдоль общей стороны с длиной, равной f, давали в итоге четырёхугольник, вписанный в окружность с последовательностью сторон (a, b, c, d), необходимо условие[6]Шаблон:Rp
<math>f^2 = \frac{(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)}. </math>
  • Замечание. Последнее условие даёт выражение для диагонали f четырёхугольника, вписанного в окружность, через длины четырёх его сторон (a, b, c, d). Эта формула немедленно следует при перемножении и при приравнивании друг другу левых и правых частей формул, выражающих суть первой и второй теорем Птолемея.
Файл:Miquelquad.svg
Теорема Микеля-Штейнера для четырёхстронника
  • Одиннадцатый критерий вписанности четырёхугольника. Выпуклый четырёхугольник (см. рис. справа), образованный четырьмя данными прямыми Микеля, вписан в окружность тогда и только тогда, когда точка Микеля M четырёхугольника лежит на прямой, соединяющей две из шести точек пересечения прямых (те, которые не являются вершинами четырёхугольника). То есть, когда M лежит на EF (см. рис. справа).

Площадь

Площадь S вписанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d задаётся формулой БрахмагуптыШаблон:Sfn

<math>S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}</math>

где p, полупериметр, равен <math>p=\tfrac{1}{2}(a+b+c+d)</math>. Утверждение является следствием соотношения Бретшнайдера, поскольку противоположные углы в сумме дают 180°. Если же d= 0, вписанный четырёхугольник становится треугольником, и равенство превращается в формулу Герона.

Вписанный четырёхугольник имеет максимальную площадь среди всех четырёхугольников, имеющих ту же последовательность длин сторон. Это другое следствие соотношения Бретшнайдера. Утверждение можно доказать с помощью математического анализаШаблон:Sfn.

Четыре неравные длины, каждая из которых меньше суммы остальных трёх, являются сторонами трёх неконгруэнтных вписанных четырёхугольниковШаблон:Sfn, и по формуле Брахмагупты все эти треугольники имеют одинаковую площадь. В частности, для сторон a, b, c и d сторона a может быть противоположной любой из сторон b, c или d. Любые два из этих трёх вписанных четырёхугольников имеют диагональ одинаковой длиныШаблон:Sfn.

Площадь вписанного четырёхугольника с последовательными сторонами a, b, c, d и углом B между сторонами a и b можно выразить формулойШаблон:Sfn

<math>S = \tfrac{1}{2}(ab+cd)\sin{B}</math>

илиШаблон:Sfn

<math>S = \tfrac{1}{2}(ac+bd)\sin{\theta}</math>

где θ — любой угол между диагоналями. Если угол A не является прямым, площадь можно выразить формулой Шаблон:Sfn

<math>S = \tfrac{1}{4}(a^2-b^2-c^2+d^2)\tan{A}.</math>

Ещё одна формула площади Шаблон:Sfn

<math>S=2R^2\sin{A}\sin{B}\sin{\theta}</math>

где R — радиус описанной окружности. Прямым следствием будет Шаблон:Sfn

<math>S\le 2R^2</math>,

и неравенство превращается в равенство в том и только в том случае, когда четырёхугольник является квадратом.

Диагонали

Во вписанном четырёхугольнике с вершинами A, B, C, D (в указанной последовательности) и сторонами a = AB, b = BC, c = CD и d = DA длины диагоналей p = AC и q = BD можно выразить через стороны Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn

<math>p = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}</math>

и

<math>q = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}</math>

что даёт равенство Птолемея

<math>pq = ac+bd.</math>


Согласно второй теореме ПтолемеяШаблон:SfnШаблон:Sfn,

<math>\frac {p}{q}= \frac{ad+bc}{ab+cd}</math>

при тех же обозначениях, что и прежде.

Для суммы диагоналей имеем неравенство Шаблон:Sfn

<math>p+q\ge 2\sqrt{ac+bd}.</math>

Неравенство становится равенством в том и только в том случае, когда диагонали имеют одинаковую длину, что можно показать, используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

Более тогоШаблон:Sfn,

<math>(p+q)^2 \leq (a+c)^2+(b+d)^2.</math>

В любом выпуклом четырёхугольнике две диагонали делят четырёхугольник на четыре треугольника. Во вписанном четырёхугольнике противоположные пары этих четырёх треугольников подобны.

Если M и N являются средними точками диагоналей AC и BD, то[7]

<math>\frac{MN}{EF}=\frac{1}{2}\left |\frac{AC}{BD}-\frac{BD}{AC}\right|</math>

где E и F — точки пересечения противоположных сторон.

Если ABCD — вписанный четырёхугольник и AC пересекает BD в точке P, то [8]

<math> \frac{AP}{CP}=\frac{AB}{CB}\cdot\frac{AD}{CD}.</math>

Формулы углов

Для вписанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d, полупериметром p и углом A между сторонами a и d тригонометрические функции угла A равныШаблон:Sfn

<math>\cos A = \frac{a^2 + d^2 - b^2 - c^2}{2(ad + bc)},</math>
<math>\sin A = \frac{2\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}{(ad+bc)},</math>
<math>\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(p-a)(p-d)}{(p-b)(p-c)}}.</math>

Для угла θ между диагоналями выполняетсяШаблон:Sfn

<math>\tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{(p-b)(p-d)}{(p-a)(p-c)}}.</math>

Если продолжения противоположных сторон a и c пересекаются под углом <math>\phi</math>, то

<math>\cos{\frac{\phi}{2}}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-d)(b+d)^2}{(ab+cd)(ad+bc)}}</math>

где p — полупериметрШаблон:Sfn

Формула Парамешвары

Для вписанного четырёхугольника со сторонами <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> и <math>d</math> (в указанной последовательности) и полупериметром <math>p</math> радиус описанной окружности задаётся формулойШаблон:SfnШаблон:Sfn

<math>R=\dfrac{1}{4} \sqrt{\dfrac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.</math>

Формула была выведена индийским математиком Шаблон:Не переведено 5 в 15 веке.

Используя формулу Брахмагупты, формулу Парамешвары можно преобразовать в

<math>4SR=\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}</math>,

где <math>S</math> — площадь вписанного четырёхугольника.

Антицентр и коллинеарность

Четыре отрезка прямых, перпендикулярных одной стороне вписанного четырёхугольника и проходящих через середину противоположной стороны, пересекаются в одной точкеШаблон:SfnШаблон:Sfn. Эта точка пересечения называется антицентром. Антицентр симметричен центру описанной окружности относительно "вершинного центроида". Таким образом, во вписанном четырёхугольнике центр описанной окружности, "вершинный центроид" и антицентр лежат на одной прямойШаблон:Sfn.

Если диагонали вписанного четырёхугольника пересекаются в точке P, а середины диагоналей — V и W, то антицентр четырёхугольника является ортоцентром треугольника VWP, а вершинный центроид находится в середине отрезка, соединяющего середины диагоналей Шаблон:Sfn.

Во вписанном четырёхугольнике "центроид площади" Ga, "центроид вершин" Gv и пересечение P диагоналей лежат на одной прямой. Для расстояний между этими точками выполняется равенствоШаблон:Sfn

<math>PG_a = \tfrac{4}{3}PG_v.</math>

Другие свойства

Файл:Japanese theorem 2.svg
Японская теорема
  • Теорема Монжа об ортоцентре вписанного четырехугольника. 4 отрезка прямых (4 антимедатрисы), проведенных из середин 4 сторон вписанного четырехугольника перпендикулярно к противолежащим сторонам, пересекаются в ортоцентре Н этого четырехугольника.[9],[10]
  • Теорема о перпендикулярности внутренних биссектрис углов при вершинах E и F, образованных на пересечениях двух пар противоположных сторон вписанного четырёхугольника. Если противоположные стороны вписанного четырёхугольника продолжить до пересечения в точках E и F, то внутренние биссектрисы углов в E и F перпендикулярныШаблон:Sfn.
  • Теорема о 4 проекциях 4 вершин вписанного четырёхугольника. Пусть <math>ABCD</math> — вписанный четырёхугольник, <math>A_1</math> — основание перпендикуляра, опущенного из вершины <math>A</math> на диагональ <math>BD</math>; аналогично определяются точки <math>B_1, C_1, D_1</math>. Тогда точки <math>A_1, B_1, C_1, D_1</math> лежат на одной окружности.[11]
  • Теорема о числовом четырехугольнике. Не существует вписанных четырёхугольников с рациональной площадью и неравными рациональными сторонами, образующими арифметическую, либо геометрическую прогрессиюШаблон:Sfn.

Четырёхугольники Брахмагупты

Четырёхугольник БрахмагуптыШаблон:Sfn — это вписанный четырёхугольник с целочисленными длинами сторон, целочисленными длинами диагоналей и целочисленной площадью. Все четырёхугольники Брахмагупты со сторонами a, b, c, d, диагоналями e, f, площадью S, и радиусом описанной окружности R можно получить путём избавления от знаменателя в следующих выражениях (при рациональных параметрах t, u и v):

<math>a=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]</math>
<math>b=(1+u^2)(v-t)(1+tv)</math>
<math>c=t(1+u^2)(1+v^2)</math>
<math>d=(1+v^2)(u-t)(1+tu)</math>
<math>e=u(1+t^2)(1+v^2)</math>
<math>f=v(1+t^2)(1+u^2)</math>
<math>S=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^2)][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^2)]</math>
<math>4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).</math>

Свойства ортодиагональных вписанных четырёхугольников

Площадь и радиус описанной окружности

Пусть для вписанного четырёхугольника, являющегося также ортодиагональным (т.е. имеющим перпендикулярные диагонали), пересечение диагоналей делит одну диагональ на отрезки длиной p1 и p2, а другую делит на отрезки длиной q1 и q2. ТогдаШаблон:Sfn (первое равенство является Предложением 11 в книге Архимеда «Леммы»)

<math> D^2=p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2 </math>,

где D — диаметр описанной окружности. Равенство выполняется ввиду того, что диагонали являются перпендикулярными хордами окружности. Отсюда следует, что радиус описанной окружности R удовлетворяет равенству

<math> R=\tfrac{1}{2}\sqrt{p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2} </math>

или, через стороны четырёхугольника

<math> R=\tfrac{1}{2}\sqrt{a^2+c^2}=\tfrac{1}{2}\sqrt{b^2+d^2}. </math>

Отсюда также следует, что

<math> a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2. </math>

Таким образом, согласно формуле Эйлера, радиус можно выразить через диагонали p и q и расстояние x между серединами диагоналей

<math> R=\sqrt{\frac{p^2+q^2+4x^2}{8}}. </math>

Формула для площади K вписанного ортодиагонального четырёхугольника можно получить непосредственно через стороны, если скомбинировать теорему Птолемея (см. выше) и формулу площади ортодиагонального четырёхугольника. В результате получим

<math> S=\tfrac{1}{2}(ac+bd). </math>

Другие свойства

  • Во вписанном ортодиагональном четырёхугольнике антицентр совпадает с точкой пересечения диагоналейШаблон:Sfn.
  • Теорема Брахмагупты утверждает, что во вписанном четырёхугольнике, являющемся также ортодиагональным, перпендикуляр от любой стороны через точку пересечения диагоналей делит противоположную сторону пополамШаблон:Sfn.
  • Если вписанный четырёхугольник является также ортодиагональным, расстояние от центра описанной окружности до любой стороны равно половине длины противоположной стороны Шаблон:Sfn.
  • Во вписанном ортодиагональном четырёхугольнике расстояние между серединами диагоналей равно расстоянию между центром описанной окружности и точкой пересечения диагоналей Шаблон:Sfn.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Внешние ссылки

Шаблон:Rq

Шаблон:Многоугольники

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Статья
  2. ↑ Шаблон:Статья
  3. ↑ 3,0 3,1 3,2 Шаблон:Citation Шаблон:Cite web
  4. ↑ 4,0 4,1 Шаблон:Citation Шаблон:Cite web
  5. ↑ См. подраздел «Диагонали» статьи «Вписанный четырёхугольник»
  6. ↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ. Co., 2007
  7. ↑ Шаблон:Cite web
  8. ↑ A. Bogomolny, An Identity in (Cyclic) Quadrilaterals, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles, [1] Шаблон:Wayback, Accessed 18 March 2014.
  9. ↑ Замечательные точки и линии четырехугольников// https://math.mosolymp.ru/upload/files/2018/khamovniki/geom-10/2018-04-17-Zam_pr_ch-ka.pdf Шаблон:Wayback
  10. ↑ Теорема Монжа// https://bambookes.ru/stuff/reshenie_zadach/geometrija/4-1-0-8264 Шаблон:Wayback
  11. ↑ Вокруг задачи Архимеда. Шаблон:Wayback Упр. 7, рис. 11, следствие, c. 5
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Вписанный_четырёхугольник&oldid=9459607