Русская Википедия:Вполне ограниченное множество

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Множество называется вполне ограниченным, если для любого положительного ε существует конечная ε-сеть для этого множества.

Замечания

• Понятия вполне ограниченности и ограниченности совпадают в случае конечномерных евклидовых пространств <math>\mathbb{R^n}</math>. Действительно, достаточно взять минимальный куб, содержащий данное ограниченное множество, со стороной <math>a</math>. Затем — разбить его на <math>k^n</math>кубиков со сторонами <math>a/k</math>. Вершины кубов дают конечную ε-сеть, нужный ε достигается увеличением <math>k</math>.
• Если на конечномерном пространстве <math>\mathbb{R^n}</math> вводить новые метрики, то ограниченные множества могут перестать быть вполне ограниченными. Такой результат, например, дает метрика <math>d(x,y)= \min(1,\mid x-y\mid)</math> или дискретная метрика.
• В бесконечномерном пространстве <math>l^2</math>ограниченность также не тождественна вполне ограниченности. В единичном шаре потребуется бесконечное количество шаров радиуса ε<1, чтобы покрыть точки вида <math>e_i = ( 0 \dots0, 1, 0 \dots 0)</math>, <math>i\in\mathbb{N}</math>.
• В полном метрическом пространстве вполне ограниченность влечет за собой предкомпактность. Это свойство требуется при доказательстве теоремы Арцела-Асколи.
• Иногда термин «вполне ограниченность» (Шаблон:Lang-en) путают с термином «полная ограниченность» (Шаблон:Lang-en). Последний имеет отношение к линейным операторам из квантового функционального анализа.

Литература

1. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 106 с.