Русская Википедия:Вполне упорядоченное множество

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Вполне упорядоченное множество — линейно упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть наименьший элемент. Другими словами, это фундированное множество с линейным порядком.

Примеры

• Пустое множество является вполне упорядоченным.
• Простейший пример бесконечного вполне упорядоченного множества — множество натуральных чисел с естественным упорядочением.
• Множество целых чисел не является вполне упорядоченным, так как, например, среди отрицательных чисел нет наименьшего. Однако его можно сделать вполне упорядоченным, если определить нестандартное отношение «меньше или равно», которое обозначим <math>\preccurlyeq</math> и определим следующим образом:

<math>a \preccurlyeq b,</math> если либо <math>a=b,</math> либо <math>|a|<|b|,</math> либо <math>|a|=|b|</math> и <math>a<0<b.</math>

Тогда порядок целых чисел будет таким: <math>0 \preccurlyeq -1 \preccurlyeq 1 \preccurlyeq -2 \preccurlyeq 2 \dots</math> В частности, <math>-1</math> будет наименьшим отрицательным числом.

• Простейшим примером несчётного вполне упорядоченного множества является совокупность всех счётных порядковых чисел, упорядоченных отношением <math>\in</math>. В предположении континуум-гипотезы его мощность равна мощности континуума.

Свойства

• Согласно теореме Цермело, если принять аксиому выбора, то любое множество можно вполне упорядочить. Более того, утверждение о существовании полного порядка для любого множества эквивалентно аксиоме выбора. В частности, при наличии аксиомы выбора множество вещественных чисел можно вполне упорядочить.
• Если X и Y — два вполне упорядоченных множества, то либо они изоморфны друг другу, либо ровно одно из них изоморфно начальному отрезку другого.

См. также

• Трансфинитная индукция

Литература

• Шаблон:Книга