Русская Википедия:Вронскиан
Вронскиа́н, или определитель Вронского, — функция <math>W(f_1,\dots f_n)(x)</math>, определённая для системы функций <math>f_1(x),\ldots f_n(x)</math> на промежутке <math>I</math>, дифференцируемых <math>(n-1)</math>-раз. Задаётся как определитель следующей матрицы:
- <math>
W(f_1,\dots f_n)(x) = \det\begin{pmatrix} f_1(x) & f_2(x) &\cdots & f_n(x) \\ f'_1(x) & f'_2(x) & \cdots & f'_n(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x) \end{pmatrix};\qquad x\in I, </math>.
Также вронскианом называют функцию, заданную определителем более общего вида. А именно, пусть задано n вектор-функций <math>f_1(x), \ldots , f_n(x)</math> с n компонентами: <math>f_i=(f_i^1, \ldots ,f_i^n)</math>. Тогда определитель будет выглядеть так (чтобы избежать разночтений обозначим его <math>W_2</math>):
- <math>
W_2(f_1,\dots f_n)(x) = \det\begin{pmatrix} f_1^1(x) & f_2^1(x) &\cdots & f_n^1(x) \\ f_1^2(x) & f_2^2(x) & \cdots & f_n^2(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^n(x) & f_2^n(x) & \cdots & f_n^n(x) \end{pmatrix};\qquad x\in I, </math>.
Назван в честь польского математика Юзефа Вронского. Термин «вронскиан» предложил шотландский математик Томас Мьюр в своей монографии 1882 года об определителях[1].
Определитель Вронского применяется для решения дифференциальных уравнений, например для того, чтобы узнать, являются ли найденные решения однородного линейного дифференциального уравнения (либо системы уравнений) линейно независимыми. Это помогает в поиске его общего решения.
Свойства
- Если <math>f_1(x), \ldots , f_n(x)</math> — линейно зависимы на <math>I</math>, то <math>\forall x\in I \quad W(x) = 0</math>.
- Если определитель Вронского на интервале не равен нулю хотя бы в одной точке, то функции <math>f_1(x), \ldots , f_n(x)</math> являются линейно независимыми (прямое следствие предыдущего свойства). Обратное, вообще говоря, неверно (см. пример 3), но для случая, когда функции являются решениями дифференциального уравнения будут верны более сильные следствия (см. ниже).
- Если <math>f_1(x), \ldots , f_n(x)</math> — решения линейного однородного дифференциального уравнения <math>n</math>-го порядка, то <math>W(f_1, \ldots ,f_n)</math> называется вронскианом этого уравнения. Определитель Вронского однородного дифференциального уравнения либо тождественно равен нулю, и это означает, что <math>f_1(x), \ldots , f_n(x)</math> линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке <math>I</math>, что означает линейную независимость функций <math>f_1(x), \ldots , f_n(x)</math>.
- <math>W'(x) = W_1(x) + W_2(x) + \cdots + W_n(x)</math>, где <math>W_i</math> — определитель Вронского, в котором строка с номером i заменена строкой производных:
<math> W_i(x) = \det\begin{pmatrix} f_{11}(x) & f_{12}(x) &\cdots & f_{1n}(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{i1}'(x) & f_{i2}'(x) & \cdots & f_{in}'(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{n1}(x) & f_{n2}(x) & \cdots & f_{nn}(x) \end{pmatrix} </math>
Эта формула верна для дифференцирования определителей любых квадратных матриц.
Примеры
- Убедимся, что вронскиан линейно зависимых функций <math>1, x^2, 3+2x^2</math> равен нулю:
- <math>
W(f_1,f_2,f_3)(x) = \begin{vmatrix} 1 & x^2 & 3+2x^2 \\ 0 & 2x & 4x \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 8x-8x = 0,\qquad x\in\mathbb R. </math>
- Проверим теперь линейную независимость функций <math>1,x,x^3</math>
- <math>
W(f_1,f_2,f_3)(x) = \begin{vmatrix} 1 & x & x^3\\ 0 & 1 & 3x^2 \\ 0 & 0 & 6x \end{vmatrix} = 6x, \qquad x\in\mathbb R. </math> Есть точки, где вронскиан отличен от нуля (в нашем случае это любая точка, кроме x=0). Поэтому на любом промежутке эти функции будут линейно независимыми.
- Приведём теперь пример, когда вронскиан всюду равен нулю, но функции всё равно линейно независимы. Зададим две функции:
- <math>f_1(x)=x^2;\qquad f_2(x) =
\begin{cases} -x^2, & x < 0, \\ x^2, & x \geqslant 0. \end{cases} </math> Обе функции всюду дифференцируемы (в том числе в нуле, где производные обеих функций обращаются в ноль). Убедимся, что вронскиан всюду ноль.
- <math>
W(f_1,f_2)(x) = \begin{cases}
\begin{vmatrix}
x^2 & -x^2 \\
2x & -2x
\end{vmatrix}
= 0, & \; x < 0, \\[15pt]
\begin{vmatrix}
x^2 & x^2 \\
2x & 2x
\end{vmatrix}
= 0, & \; x \ge 0
\end{cases} </math>
Однако эти функции, очевидно, являются линейно независимыми. Видим, что равенство вронскиана нулю не влечёт за собой линейной зависимости в случае произвольного выбора функций.
См. также
Примечания
Литература
