Русская Википедия:Вторая квадратичная форма
Вторая квадратичная форма (или вторая фундаментальная форма) поверхности ― квадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая, в отличие от первой квадратичной формы, определяет внешнюю геометрию поверхности в окрестности данной точки.
Вторая квадратичная форма часто обозначается <math>\mathrm{I\!I}</math>, а её компоненты традиционно обозначаются <math>L</math>, <math>M</math> и <math>N</math>.
Знание первой и второй квадратичных форм достаточно для вычисления главных кривизн, средней и гауссовой кривизн поверхности.
Определение
Пусть в трёхмерном евклидовом пространстве со скалярным произведением <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> поверхность задана уравнением <math>r = r (u, v),</math> где <math>u</math> и <math>v</math> ― внутренние координаты на поверхности; <math>dr= r_u du + r_v dv</math> ― дифференциал радиус-вектора <math>r</math> вдоль выбранного направления смещения из точки <math>M</math> в бесконечно близкую точку <math>M'</math>; <math>n</math> — нормальный вектор к поверхности в точке <math>M</math>. Тогда вторая квадратичная форма имеет вид
- <math>\mathrm{I\!I} = L du^2 + 2M du dv + N dv^2,</math>
где коэффициенты определяются формулами:
- <math>
L = \langle r_{uu}, n\rangle = - \langle r_{u}, n_{u}\rangle = \frac{(r_{uu},r_{u},r_{v})}{\sqrt{EG-F^2}}, </math>
- <math>
M = \langle r_{uv}, n\rangle = - \langle r_{u}, n_{v}\rangle = - \langle r_{v}, n_{u}\rangle = \frac{(r_{uv},r_{u},r_{v})}{\sqrt{EG-F^2}}, </math>
- <math>
N = \langle r_{vv}, n\rangle = - \langle r_{v}, n_{v}\rangle = \frac{(r_{vv},r_{u},r_{v})}{\sqrt{EG-F^2}}, </math> где <math>(\cdot,\cdot,\cdot)</math> обозначает смешанное произведение векторов и <math>E =|r_u|^2,</math> <math>F = \langle r_u, r_v\rangle,</math> <math>G=|r_v|^2</math> ― коэффициенты первой квадратичной формы поверхности.
Связанные определения
- Оператор формы или оператор Вайнгартена линейный оператор <math>S</math> на касательной плоскости определяемый как
- <math>S(V)=-\nabla_V\nu,</math>
- где <math>\nu</math> — поле единичных нормалей к поверхности. Оператор формы связан с второй квадратичной формой следующим соотношением:
- <math>\langle S(V),W\rangle=\mathrm{I\!I}(V,W).</math>
- Собственные значения оператора формы называются главными кривизнами поверхности в точке, а собственные направления оператора формы называются главными направлениями поверхности в точке.
- Кривые на поверхности, идущие в главных направлениях называются линиями кривизны.
- Нормальная кривизна <math>k_V</math> по направлению <math>V</math> вычисляется по формуле
- <math>\frac{\mathrm I\!\mathrm I(V,V)}{\mathrm I(V,V)}=\langle S(V),V\rangle/|V|^2</math>
- где <math>\mathrm I</math> — первая квадратичная форма.
- Направление с нулевой нормальной кривизной называется асимптотическим, а кривая на поверхности идущая в асимптотическом направлении называется асимптотической кривой.
Вычисление
График функции
В частном случае, когда поверхность представляет собой график функции <math>z=f(x,y)</math> в трёхмерном евклидовом пространстве с коэффициентами <math>x,y,z</math>, коэффициенты второй квадратичной формы принимают вид:
- <math>
L = \frac{f_{xx}}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}, \ \ \ M = \frac{f_{xy}}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}, \ \ \ N = \frac{f_{yy}}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}. </math>
Вариации и обобщения
Гиперповерхности
Рассмотрим гиперповерхность в m-мерном евклидовом пространстве со скалярным произведением <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math>. Пусть <math>{r}:\mathbb{R}^{m-1}\rightarrow\mathbb{R}^{m}</math> — локальная карта поверхности в точке <math>P</math>.
Тогда коэффициенты второй квадратичной формы вычисляется по формуле
- <math>q_{ij}=\biggl\langle{n},\frac{\partial^2 {r}}{\partial u^i \partial u^j}\biggr\rangle, \ \ \
i,j=1, \ldots, m-1,</math> где <math>n</math> обозначает единичный вектор нормали.
Большая коразмерность
Вторая фундаментальная форма определяется также и для подмногообразий произвольной коразмерности.[1]
- <math>\mathrm{I\!I}(v,w)=(\nabla_v w)^\bot, </math>
где <math>(\nabla_v w)^\bot </math> обозначает проекцию ковариантной производной <math>\nabla_v w </math> на нормальное пространство.
В этом случае вторая фундаментальная форма является билинейной формой на касательном пространстве со значениями в нормальном пространстве.
Для подмногообразий евклидова пространства тензор кривизны подмногообразия может быть посчитан с помощью так называемой формулы Гаусса:
- <math>\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle.</math>
Для подмногообразий риманова многообразия следует добавить кривизну объемлющего пространства; если многообразие <math>N</math> вложено в риманово многообразие <math>(M,g)</math> тогда тензор кривизны <math>R_N </math> многообразия <math>N</math> снабжённого индуцированой метрикой задаётся второй фундаментальной формой и тензором кривизны <math>R_M </math> объемлющего многообразия <math>M</math>:
- <math>\langle R_N(u,v)w,z\rangle = \langle R_M(u,v)w,z\rangle+\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle.</math>
См. также
Примечания
Литература
- ↑ c. 128 в M. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992
