Русская Википедия:Вторая теорема о среднем

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Вторая теорема о среднем значении касается свойств интеграла от произведения двух функций <math>\int\limits_a^b f(x)g(x) dx</math> и может быть сформулирована в разных формах. Данные ниже формулы в виде лемм обычно называют формулами Бонне и используют при доказательстве теоремы о среднем значении.

Лемма 1. Если функция f(x) не возрастает и <math>f(x)\geqslant 0</math> на отрезке [a,b], а функция g(x) интегрируема на [a,b], то существует точка <math>\xi\in[a,b]</math> такая, что <math>\int\limits_a^b f(x)g(x) dx=f(a)\int\limits_a^\xi g(x) dx</math>.

Лемма 2. Если функция f(x) не убывает и <math>f(x)\geqslant 0</math> на отрезке [a,b], а функция g(x) интегрируема на [a,b], то существует точка <math>\xi\in[a,b]</math> такая, что <math>\int\limits_a^b f(x)g(x) dx=f(b)\int\limits_\xi^b g(x) dx</math>.

Вторая теорема о среднем значении. Если функция f(x) монотонна (нестрого) на отрезке [a,b], а функция g(x) интегрируема на [a,b], то существует точка <math>\xi\in[a,b]</math> такая, что <math>\int\limits_a^b f(x)g(x) dx=f(a)\int\limits_a^\xi g(x) dx+f(b)\int\limits_\xi^b g(x) dx</math>.