Русская Википедия:Выборочное среднее

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Вы́борочное (эмпири́ческое) сре́днее — это приближение теоретического среднего распределения, основанное на выборке из него.

Определение

Пусть <math>X_1,\ldots,X_n</math> — выборка из распределения вероятности, определённая на некотором вероятностном пространстве <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math>. Тогда её выборочным средним называется случайная величина

<math>\overline{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i</math>.

Свойства выборочного среднего

• Пусть <math>\hat{F}(x)</math> — выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного <math>\omega \in \Omega</math> функция <math>\hat{F}(\omega,x)</math> является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Тогда математическое ожидание этого распределения равно <math>\overline{X}(\omega)</math>.

• Выборочное среднее — несмещённая оценка теоретического среднего:

<math>\mathbb{E}\left[\bar{X}\right] = \mathbb{E}[X_i],\quad i=1,\ldots, n</math>.

• Выборочное среднее — сильно состоятельная оценка теоретического среднего:

<math>\overline{X} \to \mathbb{E}[X_i]</math> почти наверное при <math>n \to \infty</math>.

• Выборочное среднее — асимптотически нормальная оценка. Пусть дисперсия случайных величин <math>X_i</math> конечна и ненулевая, то есть <math>\mathrm{D}[X_i] = \sigma^2 < \infty, \sigma^2 \not=0,\; i=1,\ldots, n</math>. Тогда

<math>\sqrt{n} \left(\overline{X} - \mathbb{E}[X_1]\right) \to \mathrm{N}(0,\sigma^2)</math> по распределению при <math>n \to \infty</math>,

где <math>\mathrm{N}(0,\sigma^2)</math> — нормальное распределение со средним <math>0</math> и дисперсией <math>\sigma^2</math>.

• Выборочное среднее из нормальной выборки — эффективная оценка её среднего.

См. также

• Выборочная дисперсия
• Выборочные моменты