Русская Википедия:Выпуклая кривая
Выпуклая кривая — кривая на евклидовой плоскости, которая лежит по одну сторону от любой касательной прямой.
Граница ограниченного выпуклого множества всегда является выпуклой кривой.
Определения
Определение с помощью опорных прямых
Любая прямая <math>L</math> делит евклидову плоскость на две полуплоскости, в объединении дающие всю плоскость, а пересечение которых совпадает с <math>L</math>, кривая <math>C</math> «лежит по одну сторону от <math>L</math>», если она полностью содержится в одной из этих полуплоскостей. Плоская кривая называется выпуклой, если она лежит по одну сторону от любой её касательной прямой[1]. Другими словами, выпуклая кривая является кривой, которая имеет опорную прямую в каждой точке кривой.
Определение с помощью выпуклых множеств
Выпуклую кривую можно определить как границу выпуклого множества евклидовой плоскости. Это означает, что выпуклая кривая всегда замкнута (то есть не имеет конечных точек)[2].
Иногда используется более слабое определение, в котором выпуклая кривая является подмножеством границы выпуклого множества. В этом варианте выпуклая кривая может иметь конечные точки.
Строго выпуклая кривая
Строго выпуклая кривая — выпуклая кривая, не содержащая отрезков. Эквивалентно, строго выпуклая кривая — это кривая, которая пересекает любую прямую максимум в двух точках[3][4], или простая замкнутая кривая в Шаблон:Не переведено 5, что означает, что никакая точка кривой не может быть представлена в виде выпуклой комбинации любого другого подмножества её точек.
Свойства
Любая выпуклая кривая имеет хорошо определённую конечную длину. Таким образом, выпуклая кривая является подмножеством спрямляемых кривых[2].
Согласно теореме о четырёх вершинах любая кривая имеет по меньшей мере четыре вершины, точки, в которых достигается локальный минимум или максимум кривизны[4][5].
Параллельные касательные
Замкнутая кривая <math>C</math> является выпуклой в том и только в том случае, когда не существует трёх различных точек на кривой <math>C</math>, таких, что касательные в этих точках параллельны.
Монотонность угла наклона
Кривая называется простой, если она не пересекает себя. Замкнутая регулярная плоская простая кривая <math>C</math> выпукла тогда и только тогда, когда её кривизна либо всегда положительна, либо всегда отрицательна. То есть, её угол наклона (угол касательной к кривой по отношению к оси) является слабо монотонной функцией параметризации кривой[1].
Связанные фигуры
Гладкие выпуклые кривые с осевой симметрией иногда называют овалами[6]. Однако в конечной проективной геометрии Шаблон:Не переведено 5 определяются как множества, в которых любая точка имеет единственную касательную, что в евклидовой геометрии верно в случае гладких строго выпуклых замкнутых кривых.
См. также
Примечания
