Русская Википедия:Выпуклая функция
Выпуклая функция — функция, надграфик или подграфик которой является выпуклым множеством.
Выпуклый надграфик означает, что отрезок между любыми двумя точками графика функции в векторном пространстве лежит не ниже соответствующей дуги графика; иногда такую функцию называют выпуклой вниз. Выпуклой вверх или вогнутой называют функцию с выпуклым подграфиком; некоторыми авторами вогнутыми называются выпуклые вниз функции[1].
Понятие имеет важное значение для классического математического анализа и функционального анализа, где особо изучаются выпуклые функционалы, а также для таких приложений, как теория оптимизации, где выделяется специализированный подраздел — выпуклый анализ.
Определения
Формально, для числовой функции на некотором интервале (в общем случае — на выпуклом подмножестве некоторого векторного пространства) выпуклость (вниз) можно определить как выполнение неравенства Йенсена — если для любых двух значений аргумента <math>x</math>, <math>y</math> и для любого числа <math>t \in \left[ 0, 1 \right]</math> имеет место:
- <math>f \big( tx + \left( 1 - t \right)y \big) \leqslant tf \left( x \right) + \left( 1 - t \right)f \left( y \right)</math>.
Если неравенство Йенсена выполняется в строгом варианте для всех <math>t \in \left( 0, 1 \right)</math> и <math>x \ne y</math>, то функция называется строго выпуклой. Если выполняется обратное неравенство, функция называется вогнутой (соответственно, строго вогнутой для строгого случая).
Если для некоторого <math>\varepsilon>0</math> выполняется более сильное неравенство:
- <math>f \big( tx + \left( 1 - t \right)y \big) \leqslant tf \left( x \right) + \left( 1 - t \right)f \left( y \right) - \varepsilon t \left( 1 - t \right)\left| x - y \right| ^2</math>,
то функция называется сильно выпуклой.
Свойства
Функция <math>f</math>, выпуклая на интервале <math>\mathbb{I}</math>, непрерывна на всём <math>\mathbb{I}</math>, дифференцируема на всём <math>\mathbb{I}</math> за исключением не более чем счётного множества точек и дважды дифференцируема почти всюду.
Любая выпуклая функция является субдифференцируемой (имеет субдифференциал) на всей области определения.
У выпуклой функции через любую точку проходит опорная гиперплоскость её надграфика.
Непрерывная функция <math>f</math> выпукла на <math>\mathbb{I}</math> тогда и только тогда, когда для всех точек <math>x, y \in \mathbb{I}</math> выполняется неравенство:
- <math>f \left( \dfrac{x+y}{2} \right) \leqslant \frac{f \left( x \right) + f \left( y \right)}{2}</math>
Непрерывно дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её график лежит не ниже касательной (опорной гиперплоскости), проведённой к этому графику в любой точке промежутка выпуклости.
Выпуклая функция одной переменной на интервале имеет левую и правую производные; левая производная в точке меньше или равна правой производной; производная выпуклой функции — неубывающая функция.
Дважды дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её вторая производная неотрицательна на этом интервале. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции строго положительна, такая функция является строго выпуклой, однако обратное неверно (например, функция <math>f \left( x \right) = x^4</math> строго выпукла на <math>\left[ -1, 1 \right]</math>, но её вторая производная в точке <math>x=0</math> равна нулю).
Если функции <math>f</math>, <math>g</math> выпуклы, то любая их линейная комбинация <math>af+bg</math> с положительными коэффициентами <math>a</math>, <math>b</math> также выпукла.
Локальный минимум выпуклой функции является также глобальным минимумом (соответственно, для выпуклых вверх функций локальный максимум является глобальным максимумом). Любая стационарная точка выпуклой функции будет глобальным экстремумом.
Примечания
Литература
