Русская Википедия:Выразимость в радикалах

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Выразимость в радикалах означает возможность выразить число или функцию через простейшие числа или функции при помощи извлечения корня целой степени и арифметических операций — сложения, вычитания, умножения, деления.

Для чисел

Первичные определения

Стандартное определение

Элемент <math>a</math> поля <math>F</math> называется выразимым в радикалах над подполем <math>G</math> поля <math>F</math>, если существует алгебраическое выражение, в которое в качестве чисел входят только элементы поля <math>G</math>, значение которого равно <math>a</math>. В случае, если в поле <math>F</math> корень является многозначной функцией, считается достаточным равенство числа <math>a</math> хотя бы одному из возможных значений алгебраического выражения.

Иначе говоря, множество выразимых в радикалах чисел состоит из множества значений всех рациональных выражений, частных сумм радикалов от значений рациональных выражений и частных сумм вложенных радикалов от значений рациональных выражений.

Определение без использования отсылок к формальному языку математики

Пусть <math>G</math> является подполем поля <math>F</math>. Рассмотрим такую конечную цепочку вложенных полей <math>G_0\subset G_1\subset\dots\subset G_s</math>, что <math>G_0=G</math> и <math>G_i=G_{i-1}(\alpha_i)</math>Шаблон:Refn для любого <math>i</math> от <math>1</math> до <math>s</math>, где <math>\alpha_i</math> — такое число из поля <math>F</math>, что для некоторого натурального <math>n_i</math> число <math>\alpha_i^{n_i}</math> принадлежит <math>G_{i-1}</math>. Число <math>a\in F</math> называется выразимым в радикалах над подполем <math>G</math> поля <math>F</math>, если при некотором <math>s</math> для него найдутся такие наборы <math>\alpha_i</math> и <math>n_i</math>, что <math>a\in G_s</math>.

Прочие определения

• Действительное число <math>x</math> называется выразимым в действительных радикалах, если оно выразимо в радикалах над подполем рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> поля действительных чисел <math>\mathbb{R}</math>. Корни чётной степени в принимающем значение <math>x</math> алгебраическом выражении при этом позволяется брать только из неотрицательных чисел, то есть значение любого подвыражения рассматриваемого выражения должно иметь нулевую мнимую часть.
• Комплексное число <math>z</math> (которое может являться и действительным) называется выразимым в комплексных радикалах, если оно выразимо в радикалах над подполем рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> поля комплексных чисел <math>\mathbb{C}</math>. Выразимое в действительных радикалах число всегда является выразимым в комплексных радикалах. Первичное возникновение комплексных чисел в алгебраическом выражении, принимающем значение <math>z</math>, может происходить только благодаря извлечению корня чётной степени из отрицательных чисел. Для упрощения работы с неоднозначностью корней <math>n</math>-ой степени в комплексных числах применяются различные методы указания на то, какой из корней является необходимым для получения данного числа: например, комплексные корни из единицы, являющиеся важными константами, пронумерованы явно в порядке против часовой стрелки на стандартной комплексной плоскости, начиная с самой единицы.
• Элемент <math>a</math> поля <math>F</math> называется выразимым в радикалах степени <math>n</math> над подполем <math>G</math> поля <math>F</math>, если некоторое алгебраическое выражение с числами из <math>G</math>, значение которого равно <math>a</math>, из возможных корней содержит только корни степени <math>n</math>. В частности, при <math>n=2</math> число <math>a</math> называется выразимым в квадратных радикалах, а при <math>n=3</math> выразимым в кубических радикалах. Возможны также комбинации: например, числа <math>\sqrt{2+\sqrt[3]{2}}</math> и <math>\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}</math> являются выразимыми в квадратных и кубических радикалах над полем рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math>. Определение, не выходящее за рамки стандартного формального языка, имеет следующий вид: элемент <math>a</math> поля <math>F</math> называется выразимым в радикалах степени <math>n</math> над подполем <math>G</math> поля <math>F</math>, если он выразим в радикалах над полем <math>G</math> и все <math>n_i</math>, участвующие в определении выразимости в радикалах для <math>a</math>, данном выше, равны <math>n</math>.
• Число, выразимое в действительных квадратных радикалах, называется вещественно построимым.
• Пусть <math>K</math> — поле. Тогда поле <math>K(\sqrt[n]{a})</math>Шаблон:Refn, где <math>a\in K</math> и <math>\sqrt[n]{a} \notin K</math>, называется радикальным расширением поля <math>K</math>. Таким образом, в построенной выше цепочке полей <math>G_0\subset G_1\subset\dots\subset G_s</math> каждое следующее является некоторым радикальным расширением предыдущего. В случае <math>n=2</math> указанное поле называется квадратичным расширением поля <math>K</math>, то есть число, выразимое в квадратных радикалах, принадлежит очередному полю в цепочке квадратичных расширений изначального подполя.
• Число, выразимое в радикалах, называется выразимым за <math>n</math> радикалов, если среди всех равных ему алгебраических выражений минимальное количество корней в них равно <math>n</math>.

Примеры

• Число <math>\sqrt{3+\sqrt{8}}</math> выразимо в действительных квадратных радикалах, то есть вещественно построимо. Одновременно оно выразимо в действительных радикалах любой степени вида <math>2^n</math>, где <math>n</math> — натуральное, так как <math>\sqrt{3+\sqrt{8}} = \sqrt[2^n]{\Big(3+\sqrt[2^n]{8^{2^{n-1}}}\Big)^{2^{n-1}}}</math>.
• Число <math>\sqrt{6+\sqrt{32}}+\sqrt{6-\sqrt{32}}</math> также на первый взгляд кажется выразимым только в радикалах любой степени вида <math>2^n</math>, однако на самом деле оно выразимо в радикалах любой степени и любого вида, так как <math>\sqrt{6+\sqrt{32}}+\sqrt{6-\sqrt{32}} = 4 = \sqrt[n]{4^n}</math> для любого <math>n</math>.
• Не всегда сразу можно определить и такое минимальное <math>n</math>, что рассматриваемое число выразимо за <math>n</math> радикалов, так как с виду выразимое за два квадратных радикала число <math>\sqrt{17+\sqrt{288}}</math> на самом деле равно <math>\sqrt{9+2\cdot3\cdot\sqrt{8}+8} = \sqrt{(3+\sqrt{8})^2} = 3+\sqrt{8}</math> и является выразимым за один квадратный радикал.
• Больше подобных примеров приведено в статье вложенные радикалы.
• Число <math>\sqrt[3]{1-\sqrt{\pi}}</math> выразимо в радикалах над подполем <math>\mathbb{Q}(\pi)</math> поля <math>\mathbb{R}</math>, так как единственный корень чётной степени в данном алгебраическом выражении извлекается из неотрицательного числа <math>\pi</math>, но не выразимо в действительных радикалах, так как <math>\pi\notin\mathbb{Q}</math>. В отличие от предыдущих пунктов, в данном случае мы можем говорить о негативном свойстве рассматриваемого числа на основании конкретной его записи, так как, предположив, что оно выразимо в действительных радикалах, мы легко получили бы алгебраическое выражение для <math>\pi</math>, которого не существует в силу трансцендентности этого числа (см. раздел общие свойства).

Пояснения

• Под выразимостью в радикалах в отношении действительного числа без прочих уточнений в литературе обычно подразумевается выразимость в комплексных радикалах.

Для функций, многочленов и уравнений

Первичные определения

Стандартное определение

Функция <math>f</math>, принимающая значения в поле <math>F</math> и зависящая от некоторого количества параметров, называется выразимой в радикалах над подполем <math>G</math> поля <math>F</math>, если существует алгебраическое выражение, в которое в качестве чисел входят только элементы поля <math>G</math> и указанные параметры, значение которого совпадает со значением <math>f</math> при любых допустимых значениях этих параметров.

Определение без использования отсылок к формальному языку математики

Пусть <math>G</math> является подполем поля <math>F</math>. Рассмотрим такую конечную цепочку вложенных полей <math>K_0\subset K_1\subset\dots\subset K_s</math>, элементами которых являются функции из <math>F</math> (возможно, без нескольких точек воизбежание деления на ноль) в <math>F</math>, что <math>K_0</math> состоит из всех рациональных функций над <math>G</math>, а <math>K_i=K_{i-1}(f_i)</math>Шаблон:Refn для любого <math>i</math> от <math>1</math> до <math>s</math>, где <math>f_i</math> — такая непрерывная функция на <math>F</math>, что для некоторого натурального <math>n_i</math> функция <math>f_i^{n_i}</math> принадлежит <math>K_{i-1}</math>. Функция <math>f\colon F\to F</math> называется выразимой в радикалах над подполем <math>G</math> поля <math>F</math>, если при некотором <math>s</math> для неё найдутся такие наборы <math>f_i</math> и <math>n_i</math>, что <math>f\in K_s</math>.

Прочие определения

• Многозначная функция <math>f</math> называется выразимой в радикалах над подполем <math>G</math>, если все выделяемые из неё однозначные функции также выразимы в радикалах над подполем <math>G</math>.
• Многочлен от одной переменной, зависящий от некоторого количества параметров (определяющих некоторые его коэффициенты), называется разрешимым в радикалах, если выразима в радикалах непрерывная и, возможно, многозначная функция, сопоставляющая набору значений параметров соответствующий ему набор корней многочлена.
• Алгебраическое уравнение называется разрешимым в радикалах, если разрешим в радикалах многочлен, приравнивающийся к нулю в этом уравнении.
• К функциям и многочленам применимы все ограничения определения выразимости и разрешимости в радикалах соответственно, указанные выше. Например, функция <math>f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}</math>, определённая как <math>f(x) = \sqrt{x-\sqrt{x}}</math> на всей действительной прямой, выразима в квадратных комплексных радикалах.

Примеры

• Многозначная функция <math>f(x)\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>, <math>f(x) = \sqrt{x}+\pi+\sqrt[3]{x}</math> выразима в радикалах, так как все шесть выделяемых из неё однозначных функций <math>g(x)</math> удовлетворяют условию <math>g(x) = \sqrt{x}+\pi+\sqrt[3]{x}</math>, где <math>\sqrt{x}+\pi+\sqrt[3]{x}</math> — алгебраическое выражение, использующее только переменную, выступающую в качестве аргумента функции, и комплексные числа.
• Многочлен <math>x^5+2ax^3+a^2x</math> разрешим в комплексных квадратных радикалах, так как при любом <math>a</math> его корни задаются функцией <math>x\mapsto 0, \sqrt{-a}, -\sqrt{-a}</math>. Однако разрешимым в действительных радикалах этот многочлен может являться только при том ограничении, что число <math>a</math> принадлежит множеству неположительных чисел.

Пояснения

• В случае с комплексной функцией без уточнения подполя <math>G</math> оно обычно подразумевается равным тому же множеству комплексных чисел <math>\mathbb{C}</math>.
• Важно отметить тот факт, что выразимость в радикалах функции и выразимость в радикалах образа каждого элемента при её применении не равносильны: к примеру, удовлетворяющая второму условию функция на <math>\mathbb{R}</math> может не быть непрерывной, в то время как для удовлетворяющей первому условию это требование обязательно.

Общие свойства

• Множества выразимых в радикалах чисел и выразимых в радикалах функций являются полями, содержащими поля, над которыми они выразимы в радикалах, в качестве подполей.
• Любое выразимое в радикалах комплексное число является алгебраическим, однако не любое алгебраическое число выразимо в радикалах. Первое утверждение следует из алгебраичности рациональных чисел и из того, что множество алгебраических чисел является полем (на каждом шаге перехода от <math>G_{i-1}</math> к <math>G_i</math> в определении выразимого в радикалах числа алгебраические числа порождают только алгебраические). Второе утверждение следует из нижеследующей теоремы о существовании уравнения <math>5</math> степени с целыми коэффициентами, хотя бы один из корней которого невыразим в радикалах. Точно также, любая выразимая в радикалах функция является алгебраической, в то время как не всякая алгебраическая функция выразима в радикалах. Иными словами, поле алгебраических чисел содержит поле чисел, выразимых в радикалах, а поле алгебраических функций содержит поле функций, выразимых в радикалах, однако обратные утверждения неверны.
• Любая выразимая в радикалах функция переводит множества чисел, выразимых в радикалах, алгебраических чисел и трансцендентных чисел над тем же полем внутрь них самих. В случае, если аргумент многозначной выразимой в радикалах функции целиком состоит из чисел одного из этих множеств, образ также попадает в него. Однако только последние два множества всегда целиком являются образами себя. Получить выразимое в радикалах число, получаемое при применении выразимой в радикалах функции только к невыразимым в радикалах числам, можно следующим образом: возьмём многочлен <math>5</math> степени с целыми коэффициентами, ни один из корней которого не выразим в радикалах и свободный член которого не равен нулю (по теореме Кронекера, описанной ниже, в качестве такого многочлена может подойти, к примеру, <math>x^5-4x+2</math>). Тогда функция, заданная таким многочленом без свободного члена, принимает равное ему значение только в корнях этого многочлена, невыразимых в радикалах, в то время как сам свободный член является целым числом и, очевидно, выражается в любых радикалах.

Геометрические и тригонометрические теоремы

• Основная теорема теории геометрических построений: при наличии на плоскости отрезка длины <math>1</math> отрезок длины <math>x</math> построим циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда число <math>x</math> является вещественно построимым (то есть выразимо в квадратных действительных радикалах). Отсюда следует невозможность квадратуры круга и удвоения куба циркулем и линейкой, поскольку в итоге будут получены непостроимые вещественно числа <math>\sqrt{\pi}</math> и <math>\sqrt[3]{2}</math> соответственно.
• В более общем виде рассмотренная выше теорема звучит так: при данных отрезках длин <math>a_1, a_1,\dots ,a_n</math> отрезок длины <math>a</math> можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда <math>a\in\mathbb{Q}(a_1, a_1,\dots ,a_n)</math>.
• Теорема Гаусса: Число <math>\cos\Big(\frac{2\pi}{n}\Big)</math> вещественно построимо тогда и только тогда, когда <math>n=2^kp_1p_2\dots p_k</math>, где все <math>p_i</math> — попарно различные простые числа Ферма. Из данной теоремы, в частности, следует, что число <math>\cos\Big(\frac{2\pi}{9}\Big)</math> не является вещественно построимым, то есть провести циркулем и линейкой трисекцию угла <math>\cos\Big(\frac{2\pi}{3}\Big)</math>, а значит, и произвольного угла, невозможно. Аналогичным образом доказывается невозможность разбиения произвольного угла на любое количество равных частей, не являющееся степенью двойки — если бы такое разбиение было возможно, то можно было бы построить углы вида <math>\frac{2\pi}{a^2}</math>, что возможно только при <math>a=2^k</math>.

Список алгебраических выражений для тригонометрических функций некоторых углов приведён в статье Тригонометрические константы. Побочный результат рассмотренной теоремы состоит в том, что значения тригонометрических функций в угле, составляющем целое число градусов, выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда это число делится на <math>3</math>.

• Теорема Гаусса — Ванцеля также сразу следует из приведённой выше теоремы Гаусса и гласит, что правильный <math>n</math>-угольник может быть построен циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда <math>n=2^kp_1p_2\dots p_k</math>, где все <math>p_i</math> — попарно различные простые числа Ферма, то есть тогда и только тогда, когда косинус его центрального угла, равного <math>\frac{2\pi}{n}\,(\mathrm{rad})</math>, вещественно построим.
• Несмотря на указанные выше факты, косинус любого угла, кратного <math>\pi \,(\mathrm{rad})</math>, выразим в комплексных радикалах, так как <math>\cos\Big(\frac{2\pi}{n}\Big) = \frac{1}{2}\Big(u_2 + \frac{1}{u_2}\Big)</math>, где <math>u_2</math> — второй в стандартной нумерации корень из единицы после самой единицы, а число <math>\cos\Big(\frac{2\pi m}{n}\Big)</math> выражается через <math>\cos\Big(\frac{2\pi}{n}\Big)</math> или <math>\sin\Big(\frac{2\pi}{n}\Big) = \pm\sqrt{1-\cos^2\Big(\frac{2\pi}{n}\Big)}</math> при помощи многочленов Чебышёва. Однако даже в тех случаях, когда косинус данного угла выразим только в комплексных радикалах произвольной степени, но не в квадратных действительных, минимальная степень радикалов соответствующего выражения не обязательно равна <math>n</math>: например, <math>\cos\Big(\frac{2\pi}{7}\Big) = \frac{1}{6}\left(-1+\sqrt[3]{\frac{7+21\sqrt{-3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{7-21\sqrt{-3}}{2}}\right)</math>, то есть это число выразимо в квадратных и кубических радикалах (в данном случае для получения верного значения среди возможных девяти следует взять значения кубических корней с наибольшей действительной частью).

Теоремы о функциях

• Группа Галуа выражающейся в комплексных радикалах функции разрешима. (В данном случае под "группой Галуа функции" подразумевается группа перестановок листов римановой поверхности функции, порождённая кольцевыми перестановками вокруг точек разветвления этой поверхности.)
• Производная функции, выражающейся в радикалах, также выражается в радикалах, поскольку производные всех допустимых в алгебраических выражениях арифметических операций, применённых к функциям, являются алгебраическими выражениями, использующими только значения этих функций и, в случае с корнем, его степень, в качестве переменных:

<math>\left({f \pm g}\right)' = f' \pm g'</math>

<math>\left({fg}\right)' = f'g + fg'</math>

<math>\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}</math>

<math>\sqrt[n]{x}' = \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}</math>

• Однако обратное неверно: например, производные обратных тригонометрических функций выразимы в радикалах над <math>\mathbb{Q}</math>, в то время как сами обратные тригонометрические функции являются трансцендентными функциями, то есть не являются алгебраическими (а любая выразимая в радикалах функция, как уже было сказано выше, является алгебраической):

<math>\arcsin'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.</math>

<math>\arccos'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.</math>

<math>\operatorname{arctg}'(x) = \frac{1}{\ 1+x^2}.</math>

<math>\operatorname{arcctg}'(x) = -\frac{1}{\ 1+x^2}.</math>

Теоремы о многочленах

• Многочлен разрешим в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа в общем виде разрешима.
• Теорема Кронекера: хотя бы один из корней неприводимого в рациональных числах уравнения простой степени <math>n</math> с целыми коэффициентами выразим в радикалах как число только в том случае, если среди них ровно один или ровно <math>n</math> действительных. Из этого путём построения неприводимого многочлена <math>5</math> степени с целыми коэффициентами и тремя действительными корнями (примером такого многочлена может служить <math>x^5-4x-2</math>) мгновенно выводится частный случай следующей теоремы для поля рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math>:
• Теорема Абеля-Руффини, гласящая, что уравнения любой степени, не меньшей <math>5</math>, с целыми коэффициентами не разрешимы в радикалах в общем виде (то есть при параметризации всех их коэффициентов).
• Однако уравнения с целыми коэффициентами степени до <math>4</math> включительно разрешимы (см. Линейное уравнение, Квадратное уравнение, Кубическое уравнение, Уравнение четвёртой степени). При этом линейные уравнения разрешимы и без использования радикалов, квадратные — только с использованием квадратных радикалов (а при действительных корнях ещё и действительных), кубические и четвёртой степени — только с использованием действительных квадратных и комплексных кубических радикалов . Более того, как видно из формул для решения всех этих уравений (для <math>3</math> и <math>4</math> степеней см. Формула Кардано и Формула Феррари), они разрешимы даже над полем рациональных чисел.

Шаблон:Hider{2a}</math>

1. Одно из решений уравнения <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math> равно <math>\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}} +\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}-\frac{b}{3a}</math>, где <math>p = \frac{3ac - b^2}{3a^2}</math> и <math>q = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3}</math> (следует взять такие значения кубических корней, чтобы число <math>-\frac{p}{3}</math> было равно их произведению). Путём вынесения множителя с этим корнем кубическое уравнение преобразовывается в произведение линейного и квадратного, решения для которых даны выше.

Шаблон:Hider{27 a^{3}}+\frac{b c}{6 a^{2}}-\frac{d}{2 a}\right)+\sqrt{\left(-\frac{b^{3}}{27 a^{3}}+\frac{b c}{6 a^{2}}-\frac{d}{2 a}\right)^{2}+\left(\frac{c}{3 a}-\frac{b^{2}}{9 a^{2}}\right)^{3}}} + \sqrt[3]{\left(-\frac{b^{3}}{27 a^{3}}+\frac{b c}{6 a^{2}}-\frac{d}{2 a}\right)-\sqrt{\left(-\frac{b^{3}}{27 a^{3}}+\frac{b c}{6 a^{2}}-\frac{d}{2 a}\right)^{2}+\left(\frac{c}{3 a}-\frac{b^{2}}{9 a^{2}}\right)^{3}}} - \frac{b}{3a}</math> }}
Формулы для степени <math>4</math> в полной форме слишком громоздки. }}

• Уравнения более узкого класса, называемые возвратными, разрешимы в радикалах вплоть до <math>9</math> степени включительно. Возвратные многочлены нечётной степени <math>2n+1</math> имеют вид <math>\sum_{k=0}^n(a_kx^k(x^{2n-2k+1} + \lambda^{2n-2k+1}))</math> и представляются в виде произведения скобки <math>(x+\lambda)</math> и некоторого возвратного же уравнения чётной степени, а оно, в свою очередь, выглядит следующим образом: <math>\sum_{k=0}^n(a_{n-k}(x^{n+k}+x^{n-k}\lambda^k))</math> и может быть при <math>x\neq 0 \Leftrightarrow \lambda,a_0\neq 0</math> записано в виде <math>x^n\sum_{k=0}^n\Big(a_{n-k}\Big(x^k+\Big(\frac{\lambda}{x}\Big)^k\Big)\Big)</math>, что при откидывании первого множителя может быть преобразовано в многочлен относительно <math>\Big(x+\frac{\lambda}{x}\Big)</math> степени <math>n</math>. По приведённой выше теореме Абеля-Руффини такое уравнение разрешимо в радикалах вплоть до <math>n=4</math>, следовательно, возвратное уравнение разрешимо в радикалах вплоть до степени <math>2\cdot4+1=9</math>.
• Также нетрудно убедиться по индукции по <math>n</math>, что разрешимы в радикалах в общем виде многочлены вида <math>P_1(P_2(\dots P_n(x)\dots))</math>, где <math>P_1,P_2,\dots P_n</math> — многочлены степени не выше <math>4</math>. Частный случай вида <math>P(x^2)</math>, где <math>P</math> - многочлен <math>2</math> степени, называется биквадратным уравнением и, будучи записанным в виде <math>ax^4+bx^2+c</math>, имеет четыре корня, равные <math>\pm \sqrt{\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}</math>.
• Пусть <math>f(x)</math> — неприводимый многочлен над полем <math>K</math>, а <math>L</math> — поле его разложения. Многочлен <math>f(x)</math> разрешим в квадратных радикалах тогда и только тогда, когда <math>\dim_KL=2^n</math> (то есть размерность <math>L</math> как линейного пространства над полем <math>K</math> равна <math>2^n</math> для некоторого натурального <math>n</math>).

Происхождение термина

Под «радикалами» во всех рассмотренных словосочетаниях подразумеваются математические корни целой степени — это слово ведёт своё происхождение от латинского слова «radix», имеющего, помимо прочего, то же значение. Так как операции сложения и умножения вместе с обратными к ним, также разрешённые в алгебраических выражениях, формально определяются до возведения в степень, а значит, и корня, именно корень, как "крайняя" допустимая операция, фигурирует в названии свойства.

Литература

• "Решение уравнений с использованием одного радикала" (Летняя конференция Турнира Городов)
• А.Скопенков "Ещё несколько доказательств из Книги: разрешимость и неразрешимость уравнений в радикалах"
• Лекция в НИУ ВШЭ
• Алексеев В.Б. "Теорема Абеля в задачах и решениях"