Русская Википедия:Высота многочлена

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Высота и длина многочлена P с комплексными коэффициентами — это величины, обозначающие «размер» многочлена.

Также эти термины используются по отношению к самим алгебраическим числам: высота и длина алгебраического числа — это высота и длина его минимального многочлена.

Определение

Для многочлена P степени n, заданного формулой

<math>P = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n , </math>

высота H(P) — это максимальная (по модулю) величина его коэффициентов:

<math>H(P) = \underset{i}{\max} \,|a_i|,</math>

а длина L(P) — это сумма модулей величин коэффициентов:

<math>L(P) = \sum_{i=0}^n |a_i|.\,</math>

Связь с мерой Малера

Мера Малера M(P) многочлена P также является мерой размера многочлена P. Три функции H(P), L(P) и M(P) связаны неравенствами

<math>\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}^{-1} H(P) \le M(P) \le H(P) \sqrt{n+1} ; </math>

<math>L(p) \le 2^n M(p) \le 2^n L(p) ; </math>

<math>H(p) \le L(p) \le n H(p) </math>,

где <math>\scriptstyle \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}</math> — биномиальный коэффициент.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Polynomial height at Mathworld