Русская Википедия:Вычитание
Вычита́ние (убавление) — одна из вспомогательных бинарных математических операций (арифметических действий) двух аргументов (уменьшаемого и вычитаемого), результатом которой является новое число (разность)[1], получаемое уменьшением значения первого аргумента на значение второго аргумента. На письме обычно обозначается с помощью знака «минус»: <math>a-b=c</math> . Вычитание — операция обратная сложению.
В общем виде можно записать: <math>\overline{S}(a, b)=c</math>, где <math>a \in A</math> и <math>b \in A</math>. То есть каждой паре элементов <math>(a,b)</math> из множества <math>A</math> ставится в соответствие элемент <math>c=a-b</math>, называемый разностью <math>a</math> и <math>b</math>.
Вычитание возможно только, если оба аргумента принадлежат одному множеству элементов (имеют одинаковый тип).
При наличии отрицательных чисел, вычитание удобно рассматривать (и определять) как разновидность сложения — сложение с отрицательным числом[2]. К примеру, <math>5-2=3</math> можно рассматривать как сложение: <math>5+(-2)=3</math>.
На множестве вещественных чисел область значений функции сложения графически имеет вид плоскости проходящей через начало координат и наклоненной к осям на 45° угловых градусов.
У вычитания есть несколько важных свойств (например для <math>A=</math><math>\mathbb{R}</math>):
- Антикоммутативность: <math>a-b = -(b-a),\quad\forall a, b \in\ A.</math>
- Неассоциативность: <math>(a-b)-c \ne a-(b-c),\quad\exists a, b,c \in\ A.</math>
- Дистрибутивность: <math>x\cdot (a-b)=(x\cdot a)-(x\cdot b),\quad\forall a, b \in\ A.</math>
- Вычитание <math>0</math> (нулевого элемента) даёт число равное исходному: <math>x-0=x,\quad\forall x\in A, \quad\exists 0\in A.</math>
В качестве примера, на картинке справа запись <math>5-2=3</math> обозначает пять яблок вычесть два яблока, что в результате дает три яблока. Заметим, что нельзя вычесть например из 5 яблок 2 груши. Помимо счета яблок, вычитание также может представлять разность других физических и абстрактных величин, таких как: отрицательные числа, дробные числа, векторы, функции, и другие.
Формы записи и терминология
Вычитание записывается с использованием символа «минус»: «<math>-</math>» между аргументами, такая форма записи называется инфиксной нотацией. В данном контексте символ «минус» является бинарным оператором. Результат записывается с использованием знака равенства «<math>=</math>», например:
- <math>a - b = c </math> ;
- <math>6 - 3 = 3 </math> («шесть минус три равно три») ;
- <math>64 - 35 = 29 </math> («шестьдесят четыре минус тридцать пять равно двадцать девять») .
На письме символ «минус» очень похож на другие письменные символы «дефис», «тире» и другие. Следует внимательнее разбирать выражение, чтобы не возникло ошибочного истолкования символа.
Свойства
Операция вычитание на числовых множествах <math>\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}</math> имеет следующие основные свойства:
- Вычитание антикоммутативно — от перемены мест аргументов разность изменяется:
- Антикоммутативность: <math>a-b \ne b-a,\quad\forall a, b \in\ A.</math>
- Вычитание антиассоциативно — при последовательном выполнении вычитания трёх или более чисел последовательность выполнения операций имеет значение, результат изменится:
- Антиассоциативность: <math>(a-b)-c \ne a-(b-c),\quad\forall a, b,c \in\ A.</math>
- Вычитание дистрибутивно, это — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве, также известно, как распределительный закон[3] .
- Дистрибутивность: <math>x\cdot (a-b)=(x\cdot a)-(x\cdot b),\quad\forall a, b \in\ A.</math>
- Относительно вычитания в множестве <math>A</math> существует единственный нейтральный элемент, вычитание из числа нулевого (или нейтрального элемента) даёт число равное исходному:
- Нулевой элемент: <math>x-0=x,\quad\forall x\in A, \quad\exists 0\in A.</math>
- Вычитание нуля идемпотентно — повторное применение операции к объекту даёт тот же результат, что и одинарное:
- Идемпотентность: <math>x = x - 0 = (x-0) - 0 = ((x-0)-0)- ... - 0,\quad\forall x\in A, \quad\exists 0\in A</math>;
- Вычитание противоположного элемента даёт удвоенное число:
- <math>a-(-a)=a+a=2a,\quad\forall a\in A, \quad\exists -a\in A.</math>
Результат вычитания не всегда является определённым для множества натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math>: чтобы получить натуральное число в результате вычитания, уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Невозможно в рамках натуральных чисел вычесть из меньшего числа большее.
Операция вычитания чисел определённых на множествах <math>\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}</math> даёт число (разность) принадлежащее этому же множеству, следовательно операция вычитание относится к замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из данного множества чисел), то есть множества чисел <math>\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}</math> образуют кольца относительно операции вычитания.
Выполнение вычитания
Операцию вычитания можно представить, как некий «черный ящик» с уменьшаемым и вычитаемым на входе и одним выходом — разностью:
При практическом решении задачи вычитания двух чисел необходимо свести её к последовательности более простых операций: «простое вычитание», заём, сравнение и др. Для этого разработаны различные методы вычитания, например для чисел, дробей, векторов и др. На множестве натуральных чисел в настоящее время используется алгоритм поразрядного вычитания. При этом следует рассматривать вычитание как процедуру (в отличие от операции).
Как видим, процедура достаточно сложная, состоит из относительно большого числа шагов и при вычитании больших чисел может занять продолжительное время.
«Простое вычитание» — в данном контексте обозначает операцию вычитания чисел меньше двадцати, которая может быть легко сведена к декрементированию. Является гипероператором декрементирования:
<math>a-b = \operatorname{hyper-1} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, -1, b) = a ^ {(-1)} b.</math>
<math> a {^{(-1)}} b = a - b = \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{a} \underbrace{- 1 - 1 - \dots - 1}_{b}.</math>
где: <math>1 + 1 + \dots + 1</math> — последовательность операций инкрементирования, выполненная <math>a</math> раз;
<math>-1 - 1 - \dots - 1</math> — последовательность операция декрементирования, выполненная <math>b</math> раз.
Чтобы упростить и ускорить процесс вычитания используют табличный метод «простого вычитания», для этого заранее вычисляют все комбинации разностей чисел от 18 до 0 и берут готовый результат из этой таблицы Шаблон:Sfn:
| - | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |||||||||
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |||||||||
| 2 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |||||||||
| 3 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |||||||||
| 4 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |||||||||
| 5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |||||||||
| 6 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |||||||||
| 7 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |||||||||
| 8 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |||||||||
| 9 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Данная процедура применима к вычитанию натуральных и целых (с учётом знака) чисел. Для других чисел используются более сложные алгоритмы.
Вычитание чисел
Натуральные числа
Воспользуемся определением натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств <math>C, A, B</math> порождённых биекциями, с помощью скобок: <math>[C], [A], [B]</math>. Тогда арифметическая операция «вычитание» определяется следующим образом:
где <math>A \setminus B=\{C \in A \mid C \not\in B \mid B \subset A \}</math> — разность множеств. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.
Взаимно однозначное отображение конечного множества <math> A </math> на отрезок <math> N_a </math> можно понимать как нумерацию элементов множества <math> A: \quad A \sim N_a </math> . Этот процесс нумерации называют «СЧЕТОМ». Таким образом, «счет» — это установление взаимно однозначного соответствия между элементами множества и отрезком натурального ряда чисел.
Для вычитания натуральных чисел в позиционной системе обозначения чисел применяется поразрядный алгоритм вычитания. Если даны два натуральных числа <math>a</math> и <math>b</math> такие, что:
где <math> a_{0 \dots n-1}=a_k P^k, \quad b_{0 \dots n-1}=b_k P^k </math>; <math>n</math> — количество цифр в числе <math>n \in \{1, 2, \dots ,n \}</math>; <math>k</math> — порядковый номером разряда (позиции), <math>k \in \{0, 1, \dots ,n-1 \}</math>; <math>P</math> — основание системы счисления; <math> \{P \}</math> множество числовых знаков (цифр), конкретной системы счисления: <math>\{P_2 \}= \{0,1 \}</math>, <math>\{P_{10} \}= \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}</math>, <math>\{P_{16} \}= \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F \}</math>; тогда:
вычитая поразрядно, получаем:
- <math>c_0=\begin{cases} a_0-b_0, \quad & \text{if } a_0 \geqslant b_0 \text{ } \\ a_0+P-b_0, \quad a_1=a_1-1 & \text{if } a_0 < b_0 \text{ } \end{cases}</math>
- <math>c_1=\begin{cases} a_1-b_1, \quad & \text{if } a_1 \geqslant b_1 \text{ } \\ a_1+P-b_1, \quad a_2=a_2-1 & \text{if } a_1 < b_1 \text{ } \end{cases}</math>
- <math>... \quad \quad... \quad \quad...</math>
- <math>c_{n-1}=\begin{cases} a_{n-1}-b_{n-1}, \quad & \text{if } a_{n-1}\geqslant b_{n-1} \text{ } \\ a_{n-1}+P-b_{n-1}, \quad a_n=a_n-1 & \text{if } a_{n-1}<b_{n-1} \text{ } \end{cases}</math>
Таким образом операция вычитания сводится к процедуре последовательного простого вычитания натуральных чисел <math>a_{k}-b_{k}</math>, с формированием заёма при необходимости, которое производится либо табличным методом, либо декрементированием (счетом).
Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно пользоваться таблицей вычитания, соответствующей данному основанию <math>P</math> системы счисления.
Пример вычитания натуральных чисел в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления, для удобства числа записываются друг под другом соответственно разрядам, знак заёма пишется сверху, недостающие разряды дополняются нулями:
Целые числа
Множество целых чисел — расширение множества натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math>, получаемое добавлением отрицательных чисел Шаблон:Sfn вида <math>-n</math>. Множество целых чисел обозначается <math>\mathbb{Z}.</math> Арифметические операции над целыми числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над натуральными числами.
Наличие отрицательных чисел позволяет рассматривать (и определять) «вычитание» как разновидность «сложения» — сложение с отрицательным числом. Однако рассмотрим в рамках данной статьи «вычитание», как операцию определённую на множестве целых чисел, это также относится и к следующим числовым множествам. Отличие от натуральных чисел состоит в том, что отрицательные числа на числовой прямой направлены в противоположную сторону, это несколько меняет процедуру вычитания. Необходимо учитывать взаимное направление чисел, здесь возможны несколько случаев:
- Если оба аргумента положительные, тогда: <math>c = a - b;</math>
- Если один из аргументов отрицателен, тогда: <math>c= -a - b = -(a+b),</math> либо <math>c= a - (-b) = a+b;</math>
- Если оба аргумента отрицательны, тогда: <math>c = (-a)-(-b) = - a + b = b - a.</math>
Здесь и далее также используется алгоритм поразрядного вычитания (сложения). Например, рассмотрим выражение: <math>-6-4=-10</math>; так как у чисел <math>-6</math> и <math>4</math> разные знаки, то выносим минус за скобки: <math>-6-4=-(6+4)</math>, вычисляя далее получим ответ: <math>-10</math>.
Рациональные числа
Множество рациональных чисел обозначается <math>\mathbb{Q}</math> (от Шаблон:Lang-en «частное») и может быть записано в таком виде: <math>\mathbb{Q} = \left\{ \frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \right\}.</math>
Для вычитания рациональных чисел в виде обыкновенных (или простых) дробей вида: <math>\pm \frac{m}{n}</math>, их следует преобразовать (привести) к общему (одинаковому) знаменателю. Например, взять произведение знаменателей, числители при этом умножаются на соответствующие знаменатели. Затем вычесть полученные числители, а произведение знаменателей станет общим.
Если даны два рациональных числа <math>a</math> и <math>b</math> такие, что: <math>a=\frac{m_a}{n_a}, b=\frac{m_b}{n_b} \quad\forall m_a, n_a, m_b, n_b \in \mathbb{N} \quad\forall {n_a},{n_b} \ne 0 </math> (дроби не сокращаемые), тогда:
Либо можно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Порядок действий:
- Находим наименьшее общее кратное знаменателей: <math>M=[n_a,n_b]</math>.
- Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на <math>\frac{M}{n_a}</math>.
- Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на <math>\frac{M}{n_b}</math>.
После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны <math>M</math>). В ряде простых случаев это упрощает вычисления, но в случае больших чисел расчёты значительно усложняются. Можно взять в качестве <math>M</math> любое другое общее кратное.
Пример вычитания:
Если знаменатели обеих дробей совпадают, то:
Если знаменатели кратны какому-либо числу, то преобразуем только одну дробь:
Арифметическая операция «вычитание» над рациональными числами относится к замкнутым операциям.
Вещественные числа
Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение[4] соответствующих операций над рациональными числами.
Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями:
определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: <math>\alpha = [a_n]</math> и <math>\beta = [b_n]</math>, то их разностью называют число <math>\gamma = [c_n]</math>, определённое разностью последовательностей <math>\{a_n\}</math> и <math>\{b_n\}</math>:
вещественное число <math>\gamma = \alpha - \beta</math>, удовлетворяет следующему условию:
\forall a', a, b', b \in \mathbb{Q}; EducationBot (обсуждение) 15:42, 10 августа 2023 (+04) (a' \leqslant \alpha \leqslant a) \land (b' \leqslant \beta \leqslant b) \Rightarrow (a' - b' \leqslant \alpha - \beta \leqslant a - b) \Rightarrow (a' - b' \leqslant \gamma \leqslant a - b)
</math>.
Таким образом разностью двух вещественных чисел <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> является такое вещественное число <math>\gamma</math> которое содержится между всеми разностями вида <math>a' - b'</math> с одной стороны и всеми разностями вида <math>a - b</math> с другой стороныШаблон:Sfn.
На практике для того, чтобы вычесть два числа <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>, необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами <math>a</math> и <math>b</math>. За приближенное значение разности чисел <math>\alpha - \beta</math> берут разность указанных рациональных чисел <math>a-b</math>. При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>. Сложение производится по алгоритму поразрядного сложения.
При вычитании приближённых чисел их абсолютные погрешности складываются <math>\Delta (a - b)=\Delta a+ \Delta b</math>, абсолютная погрешность числа принимается равной половине последнего знака этого числа. Относительная погрешность разности заключена между наибольшим и наименьшим значениями относительных погрешностей аргументов; на практике принимается наибольшее значение <math>\delta (a - b)=\max(\delta a,\delta b)</math>. Полученный результат округляют до первой верной значащей цифры, значащая цифра приближенного числа является верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.
Пример вычитания <math>\gamma=\pi-e</math>, с точностью до 3-го знака после запятой:
- Округляем данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений);
- Получаем: <math>\pi\approx 3.1416, \quad e \approx 2.7183</math> ;
- Поразрядно вычитаем: <math>\gamma = \pi - e \approx 3.1416 - 2.7183 \approx 0.4233</math> ;
- Округляем до 3-го знака после запятой: <math>\gamma\approx 0.423</math> .
График
На множестве вещественных чисел область значений функции вычитания графически имеет вид плоскости проходящей через начало координат и наклоненной к осям на 45° угловых градусов.
Так как <math>\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}</math>, то и для этих множеств область значений функции вычитания будет принадлежать этой плоскости.
Комплексные числа
Множество комплексных чисел с арифметическими операциями является полем и обычно обозначается символом <math>\mathbb{C}</math>.
Комплексные числа вычитаются друг с другом путём вычитания действительных и мнимых частейШаблон:Sfn. Это значит, что:
- <math>c+fi=(a+di) - (b+ei) = (a-b) + (d-e)i,\ </math>
Где: <math>c, a, b, d, e, f \in \R</math>, <math>i</math> — мнимая единица. Используя представление комплексных чисел как векторов на комплексной плоскости, можно дать вычитанию комплексных чисел следующую геометрическую интерпретацию: разностью комплексных чисел <math>a+di</math> и <math>b+ei</math>, представленных векторами на комплексной плоскости, будет вектор, соединяющий концы уменьшаемого вектора и вычитаемого вектора и направленный от вычитаемого к уменьшаемому, он является разностью векторов и соответственно разностью комплексных чисел (аналогично будет если к уменьшаемому вектору прибавить вектор обратный вычитаемому вектору).
Аналогично для комплексных чисел n-ой размерности: <math>A=a_11+a_2i_2+ \dots +a_{n}i_n, EducationBot (обсуждение) B=b_11+b_2i_2+ \dots +b_{n}i_n;</math> <math>C=A-B=(a_11+a_2i_2+ \dots +a_{n}i_n) - (b_11+b_2i_2+ \dots +b_{n}i_n) =</math> <math> =(a_1-b_1)1+(a_2-b_2)i_2+ \dots +(a_n-b_n)i_n = c_11+c_2i_2+ \dots +c_ni_n.</math>
Экспоненциальная запись
В экспоненциальной записи числа записываются в виде <math>a= \pm x \cdot P^{ \pm n}</math>, где <math>x</math> — мантисса, <math>P^{n}</math> — характеристика числа, <math>P</math> — основание системы счисления. Для вычитания двух чисел, которые записаны в экспоненциальной форме, требуется, чтобы у них были одинаковые характеристики: <math> a \cdot P^{n} - b \cdot P^{n} = (a-b) \cdot P^{n},</math> согласно свойству дистрибутивности.
Например:
- <math>2.3 \cdot 10^{-5} - 5.67 \cdot 10^{-6} = 2.34 \cdot 10^{-5} - 0.567 \cdot 10^{-5} = (2.34 - 0.567) \cdot 10^{-5} = 1.773 \cdot 10^{-5}</math>
Вычитание произвольных чисел
При вычитании чисел принадлежащих разным множествам необходимо произвести расширение числа из множества с меньшей мощностью в сторону числа из множества с большей мощностью, либо оба числа расширить до уравнивания множеств, если существует такая возможность. Например, если нужно вычесть из рационального числа <math>9{,}56</math> натуральное число <math>4</math>, то воспользовавшись тем, что натуральные числа являются подмножеством рациональных, расширяем натуральное число <math>4</math> до рационального числа <math>4{,}00</math> и вычитаем два рациональных числа <math>9{,}56-4{,}00=5{,}56</math>. Аналогично, пользуясь тем, что: <math>\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{H}</math> можно вычитать числа из различных множеств между собой.
Особенности обучения вычитанию школьников
Практика показывает, что школьников легче научить вычислять разность чисел, чем научить их принимать решение о применимости операции вычитания в той или иной задаче. Это связано с тем, что вычитание, в отличие, например, от сложения, — некоммутативная операция, её аргументы играют разные роли, и ситуации задач на вычитание, которые должен разрешить ученик, существенно разнообразней, чем при сложении. В связи с этим детям, решившим задачу на вычитание одного вида, может быть затруднительно решить задачу на вычитание другого вида, даже с такими же числовыми данными. Педагог, работающий с ребёнком, должен убедиться, что его ученик уверенно чувствует себя и находит решение задач на вычитание следующих видов:
| Виды задач | Примеры задач |
| Задачи на нахождение результата действия или процесса, приводящих к уменьшению (расходу) начального количества | У Васи было 5 яблок, 3 из них он раздал друзьям. Сколько яблок у него осталось? |
| Задачи на сравнение чисел и величин, нахождение разницы, превышения, избытка | На участке дороги максимальная разрешённая скорость — 60 км/ч. Автомобиль едет по ней со скоростью 85 км/ч. На сколько водитель превышает допустимую скорость? |
| Задачи на измерение интервалов — временных и пространственных (как особый cлучай предыдущего вида задач) | В школе уроки заканчиваются в 13 часов 05 минут. Сейчас 10 часов 42 минуты. Сколько ещё ждать до конца уроков? |
| Задачи на нахождение неизвестной части совокупности (объёма) как дополнения к известной части. | В классе 25 учеников. У двоих из них — рыжий цвет волос, у восьми — каштановый, шестеро — блондинов, остальные — брюнеты. Сколько в классе брюнетов? |
| Задачи на обращение операции сложения. Восстановление первого операнда | Маша положила в копилку 25 рублей и всего у неё стало 583 рубля. Сколько денег было у Маши до этого? |
| Задачи на обращение операции сложения. Восстановление второго операнда | Одна ручка стоит 20 рублей, а ручка и блокнот стоят 50 рублей. Сколько стоит блокнот? |
| Задачи на обращение операции вычитания. Восстановление второго операнда (вычитаемого) | На дереве сидело 16 ворон. Несколько ворон улетело, а осталось 5. Сколько ворон улетело? |
См. также
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Публикация
- Шаблон:Книга
- ↑ Вычитание // Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.
- ↑ Шаблон:PlanetMath
- ↑ Так эти свойства называются в учебниках для младших классов
- ↑ Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида <math>\{x: \alpha < x < \beta\}</math>
