Русская Википедия:Вязкостное решение

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Вязкостное решение — определённый тип слабого решения дифференциального уравнения в частных производных, а точнее вырожденного эллиптического уравнения.

Определения

Вырожденное эллиптическое уравнение

Дифференциальное уравнение в частных производных

<math>F(x,u,Du,D^2 u) = 0</math>,

заданное в области <math> \Omega\subset \mathbb{R}^n </math>, является вырожденным эллиптическим, если для любых двух симметричных матриц <math>X</math> и <math>Y</math> таких, что их разница <math>Y-X</math> положительно определенна, и любых значений <math>x \in \Omega</math>, <math>u \in \mathbb{R}</math> и <math>p \in \mathbb{R}^n</math> выполняется неравенство

<math> F(x,u,p,X) \geqslant F(x,u,p,Y).</math>

Примеры

• Уравнение Лапласа

  <math> -\Delta u = 0 </math>.

• Любое уравнение первого порядка.

Вязкостное решение

Полунепрерывная сверху функция <math>u</math>, заданная в <math>\Omega</math>, называется вязкостным подрешением этого уравнения, если для любой точки <math>x_0 \in \Omega</math> и любой гладкой функции <math>\phi</math> такой, что <math>\phi(x_0) = u(x_0)</math> и <math>\phi \geqslant u</math> в некоторой окрестности <math>x_0</math>, выполняется неравенство

<math> F(x_0,\phi(x_0),D\phi(x_0),D^2 \phi(x_0)) \leqslant 0 .</math>

Аналогично полунепрерывная снизу функция <math>u</math>, заданная в <math>\Omega</math>, называется вязкостным надрешением этого уравнения, если для любой точки <math>x_0 \in \Omega</math> и любой гладкой функции <math>\phi</math> такой, что <math>\phi(x_0) = u(x_0)</math> и <math>\phi \leqslant u</math> в некоторой окрестности <math>x_0</math> выполняется неравенство

<math> F(x_0,\phi(x_0),D\phi(x_0),D^2 \phi(x_0)) \geqslant 0 .</math>

Непрерывная функция <math>u</math> является вязкостным решением вырожденного эллиптического уравнения, если оно является подрешением и надрешением одновременно.

История

Термин впервые появляются в работе Шаблон:Iw и Лионса в 1983 году для решений уравнения Гамильтона — Якоби. Определение фактически дано Шаблон:Iw ранее, в 1980 году. Определение было уточнено в совместной работе всех троих.

Литература

• Шаблон:Статья